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.Sala de Estudo: Sistema de Numeração Romano – DIVISÃO

Algoritmo da divisão


Antes de apresentarmos o algoritmo da divisão para números representados no sistema romano de numeração, precisamos apresentar os processos que irão gerar esse algoritmo. Dados dois números naturais não nulos a e b, dividendo e divisor, precisamos determinar números naturais q e r, respectivamente quociente e resto da divisão de a por b, tais que:

a=b×q+r, com 0r<b,

lembrando que não existe representação para o zero no sistema romano. Dessa forma, um "resto de zero" será simplesmente "nenhum resto".
Para que vocês entendam direitinho o processo, vamos apresentá-lo utilizando o sistema de numeração com o qual estamos habituados.
Percebam que, essencialmente, podemos executar uma divisão utilizando repetidas subtrações: se contarmos o número de vezes que podemos subtrair o divisor do dividendo, até que o dividendo se torne menor que o divisor, o quociente será o resultado da contagem e o resto será o que sobrou.
Por exemplo, vamos dividir 53 por 9:
\begin{array}{|c|c| c| c|} \hline \text{Valor}&\text{Podemos subtrair 9?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\ \hline 53 & \text{sim} & 53-9=44 & 1\\ \hline 44 & \text{sim} & 44-9=35 & 2\\ \hline 35 & \text{sim} & 35-9=26 & 3\\ \hline 26 & \text{sim} &26-9= 17 & 4\\ \hline 17 & \text{sim} & 17-9=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$8$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$5$}\\ \hline 8 & \text{não} & – & – \\ \hline\end{array}

Analisando os dados da tabela, concluímos que o quociente e o resto da divisão de 53 por 9 são, respectivamente, q=5 e r=8. De fato, 53=9\times 5+8 e 0 \leqslant 8 \lt 9.
Observem que esse processo funcionará em qualquer sistema de numeração, em particular, no romano. No entanto, avaliem o trabalho que teríamos ao dividir 2359 por 15, já que teríamos que fazer 157 subtrações, uma vez que 2359 dividido por 15 tem quociente 157 e deixa resto 4.
Mas não se desesperem! Podemos diminuir consideravelmente a quantidade de subtrações a serem efetuadas em uma divisão, multiplicando convenientemente o divisor por potências de dez (10, \, 100, \, 1000,\cdots) e aumentando a nossa contagem de subtrações respectivamente de 10 em 10, de 100 em 100, de 1000 em 1000, etc.
Vejamos, então, a divisão de 2359 por 15:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\ \hline 2359 & 15 \times 100=\boxed{1500} & \text{sim} & 2359-1500=859& 100\\ \hline 859 & 15 \times 100=\boxed{1500} & \text{não} & – & – \\ \hline 859 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 859-150=709& 100+10=110\\ \hline 709 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 709-150=559& 110+10=120\\ \hline 559 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 559-150=409& 120+10=130\\ \hline 409 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 409-150=259& 130+10=140\\ \hline 259 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{sim} & 259-150=109 & 140+10=150\\ \hline 109 & 15 \times 10=\boxed{150} & \text{não} & – & – \\ \hline 109 & \boxed{15} & \text{sim} & 109-15=94 & 150+1=151\\ \hline 94 & \boxed{15} & \text{sim} & 94-15=79 & 151+1=152\\ \hline 79 & \boxed{15} & \text{sim} & 79-15=64 & 152+1=153\\ \hline 64 & \boxed{15} & \text{sim} & 64-15=49 & 153+1=154\\ \hline 49 & \boxed{15} & \text{sim} & 49-15=34 & 154+1=155\\ \hline 34 & \boxed{15} & \text{sim} & 34-15=19 & 155+1=156\\ \hline 19 & \boxed{15} & \text{sim} & 19-15=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$4$} & 156+1=\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$157$}\\ \hline 4 & \boxed{15} & \text{não} & – & – \\ \hline\end{array}
Os dados da tabela nos mostram que o quociente e o resto da divisão de 2359 por 15 são, respectivamente, q=157 e r=4.
Assim, o nosso algoritmo da divisão envolverá quatro processos matemáticos: multiplicação por potências de dez, comparações entre dois números, subtrações e adições.
Considerando os processos desenvolvidos nas três Salas anteriores, precisaremos de um processo adicional: a partir da representação no sistema romano, determinar se um dado número é maior do que outro. E a comparação entre dois números escritos no sistema romano de numeração não é difícil; basta comparar as quantidades de símbolos que cada número tem:
passando dos símbolos de maior valor para os de menor valor, isto é, da esquerda para direita, ignoramos aqueles que aparecem em igual quantidade nos dois números que estão sendo comparados, até encontrarmos a primeira ocorrência em que há mais símbolos de certo valor em um dos dois números. O que contém mais símbolos é o maior.
Vejam os exemplos:

  • MMCXXXVIII é menor do que MMCCCCXVI. Com efeito, há a mesma quantidade de símbolos M nos dois números, mas o segundo contém mais símbolos C.
  • MCLVIII é maior do que MCXXXVI, pois as quantidades de M e C são iguais nos dois números, mas existe um símbolo L no primeiro e não existe esse símbolo no segundo.
  • DXXXVI é maior do que CCCCLVII porque existe um símbolo D no primeiro e o segundo não contém esse símbolo.

Pronto, estamos aptos a entender o algoritmo da divisão!

O algoritmo

Etapa 1: Obter produtos convenientes entre o divisor e potências de dez.
Etapa 2: Descompactar todas as notações subtrativas de cada um dos dois números.

  • Por exemplo: transformar IV em IIII; transformar IX em VIIII; transformar XL em XXXX; etc.

Etapa 3: Efetuar o processo das subtrações sucessivas com a devida contagem do número de subtrações efetuadas.
Etapa 4: Finalizar o processo, destacando o quociente e o resto: o quociente é o resultado da contagem e o resto é a última diferença.




Alguns exemplos

Exemplo 1: XXXIX \div VIII
Etapa 1:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\ \hline VIII & LXXX & DCCC \\ \hline \end{array}
Observem que LXXX e DCCC são maiores do que XXXIX, assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando VIII.

Etapa 2: XXX\textcolor{#00FF00}{IX} \div VIII\mapsto XXX\textcolor{#00FF00}{VIIII} \div VIII
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\ \hline XXXVIIII & VIII & XXX\cancel{VIII}I & XXXI & I\\ \hline XX\textcolor{red}{X}I & VIII & XX\textcolor{red}{\cancel{VIII}II}I & XXIII & II\\ \hline X\textcolor{blue}{X}III & VIII & X\textcolor{blue}{V}\cancel{\textcolor{blue}{V}III} & XV & III\\ \hline \textcolor{#FF00FF}{XV} & VIII & \textcolor{#FF00FF}{V\cancel{VIII}II} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$VII$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$IV$}\\ \hline VII & VIII & \text{Não} & – & -\\ \hline \end{array}
Etapa 4:

  • Quociente da divisão: IV
  • Resto da divisão: VII

Exemplo 2: CXX\div VI
Etapa 1:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\ \hline VI & LX & DC \\ \hline \end{array}
Observem que DC é maior do que CXX, assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando LX e VI, nessa ordem.

Etapa 2: CXX\div VI
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\ \hline \textcolor{red}{C}XX & LX & \textcolor{red}{L}\cancel{\textcolor{red}{L}X}X & LX & X\\ \hline LX & LX & \cancel{LX} & & XX\\ \hline \end{array}

Etapa 4:

  • Quociente da divisão: XX
  • Resto da divisão: Não tem

Exemplo 3: XCIV\div VII
Etapa 1:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textcolor{red}{\times} & \quad X\quad & \quad C \\ \hline VII & LXX & DCC \\ \hline \end{array}
Observem que DCC é maior do que XCIV, assim faremos apenas subtrações sucessivas utilizando LXX e VII, nessa ordem.

Etapa 2: \textcolor{#00FF00}{(XC)(IV)} \div VII\mapsto\textcolor{#00FF00}{(LXXXX)(IIII)} \div VII
Etapa 3:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valor}&\text{Queremos subtrair}&\text{Podemos subtrair?}& \text{Diferença}&\text{Contagem}\\ \hline LXXXXIIII & LXX & \cancel{LXX}XXIIII & XXIIII & X\\ \hline XXIIII & LXX & \text{Não} & – & -\\ \hline X\textcolor{red}{X}IIII & VII & X\textcolor{red}{V}\cancel{\textcolor{red}{V}II}II & XVII & XI\\ \hline XVII & VII & X\cancel{VII} & X & XII\\ \hline \textcolor{blue}{X} & VII & \textcolor{blue}{\cancel{VII}III}& \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$III$} & \fcolorbox{black}{#eae2d3}{$XIII$} \\ \hline III & VII & \text{Não} & – & – \\ \hline \end{array}

Etapa 4:

  • Quociente da divisão: XIII
  • Resto da divisão: III

Conferindo: Vocês podem verificar se as contas estão corretas, convertendo os valores para a notação regular:

  • \boxed{XXXIX \div VIII}\mapsto \boxed{39\div 8}
  • \qquad \qquad \begin{array}{r} 39 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 8 \, \, \, \\ \hline \end{array}
    \qquad \qquad\begin{array}{r} \, 7 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, 4 \end{array}

  • \boxed{CXX\div VI}\mapsto \boxed{120\div 6}
  • \qquad \qquad \begin{array}{r} 120 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 6 \, \, \, \\ \hline \end{array}
    \qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, 0 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, 20 \end{array}

  • \boxed{XCIV\div VII}\mapsto \boxed{94\div 7}
  • \qquad \qquad \begin{array}{r} 94 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 7 \, \, \, \\ \hline \end{array}
    \qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, 3 \end{array}\begin{array}{r} \, \, 13 \end{array}

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