Sala de Estudo: Sistema de Numeração Romano – ADIÇÃO

Algoritmo da adição


Este algoritmo da adição entre números representados a partir do sistema de numeração romano tem como finalidade obter somas do tipo

[tex]\qquad \qquad \quad \quad \boxed{a_1+a_2+ \cdots +a_n}~[/tex], sendo [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n[/tex] números naturais não nulos.

A versão apresentada tem cinco etapas e descreve o processo para somas com duas parcelas, mas pode ser facilmente generalizada para soma com mais parcelas.

O algoritmo

Etapa 1: Descompactar todas as notações subtrativas de cada uma das parcelas a serem somadas.

  • Por exemplo: transformar [tex]IV[/tex] em [tex]IIII[/tex]; transformar [tex]IX[/tex] em [tex]VIIII[/tex]; transformar [tex]XL[/tex] em [tex]XXXX[/tex]; etc.

Etapa 2: Agrupar todos os símbolos de mesmo valor, independente da parcela em que estejam.

  • Por exemplo: [tex](CCCCC)[/tex]; [tex](XXX)[/tex]; [tex](IIII)[/tex]; [tex](VVVVV)[/tex]; [tex](LL)[/tex]; etc.

Etapa 3: Se necessário, organizar todos os símbolos em ordem, da esquerda para a direita, com os símbolos de maior valor à esquerda.

  • [tex](M\cdots M)[/tex]; [tex](D \cdots D)[/tex]; [tex](C \cdots C)[/tex]; [tex](L \cdots L)[/tex]; [tex](X \cdots X)[/tex]; [tex](V \cdots V)[/tex]; [tex](I \cdots I)[/tex].

Etapa 4: Começando pelo lado direito, agrupar símbolos iguais que possam ser substituídos por um único símbolo, de maneira que seja mantida a soma dos valores dos símbolos que serão substituídos, e fazer as respectivas substituições. (Mantenha sempre a ordem estabelecida pela Etapa 3.)

  • Por exemplo: transformar [tex]IIIII[/tex] em [tex]V[/tex]; transformar [tex]XXXXX[/tex] em [tex]L[/tex]; transformar [tex]CCCCC[/tex] em [tex]D[/tex]; etc.

Etapa 5: Sempre que necessário, compactar os símbolos finais obtidos pelas sucessivas aplicações da Etapa 4, utilizando as regras subtrativas.




Alguns exemplos

Exemplo 1: [tex]CCXIX + XLVII[/tex]

Etapa 1: [tex]CCX\textcolor{#00FF00}{IX} + \textcolor{#00FF00}{XL}VII \mapsto CCXVIIII + XXXXVII[/tex]
Etapa 2: [tex](CC)~(XXXXX)~(VV)~(IIIIII)[/tex]
Etapa 3: [tex](CC)~(XXXXX)~(VV)~(IIIIII)[/tex]
Etapa 4: [tex](CC)~(XXXXX)~(VV)~(\textcolor{red}{IIIII}I) \mapsto ~ (CC)~(XXXXX)(VV\textcolor{red}{V})I[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CC)~(XXXXX)~(\textcolor{blue}{VV}V)I \mapsto (CC)~(XXXXX\textcolor{blue}{X})VI[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CC)(\textcolor{#FF00FF}{XXXXX}X)VI \mapsto (CC)(\textcolor{#FF00FF}{L})XVI[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CC)LXVI[/tex]
Etapa 5: [tex]CCLXVI[/tex]

Assim, [tex]\boxed{CCXIX + XLVII=CCLXVI}[/tex]


Exemplo 2: [tex]DLXIII + XCVI[/tex]

Etapa 1: [tex]DLXIII + \textcolor{#00FF00}{XC}VI \mapsto DLXIII + LXXXXVI[/tex]
Etapa 2: [tex](D)~(LL)~(XXXXX)~(V)~(IIII)[/tex]
Etapa 3: [tex](D)~(LL)~(XXXXX)~(V)~(IIII)[/tex]
Etapa 4: [tex](D)~(LL)~(\textcolor{red}{XXXXX})~(V)~(IIII)~\mapsto ~ (D)~(LL\textcolor{red}{L})~(V)~(IIII)[/tex]
[tex]\qquad\qquad (D)~(\textcolor{blue}{LL}L)~(V)~(IIII) \mapsto (D)~(\textcolor{blue}{C})~LV~(IIII)[/tex]
[tex]\qquad\qquad (D)~CLV~(IIII)[/tex]
Etapa 5: [tex] DCL\textcolor{#00FF00}{VIIII} \mapsto DCLIX[/tex]

Logo, [tex]\boxed{DLXIII + XCVI=DCLIX}[/tex]


Exemplo 3: [tex]CCXV+ CCCXXXIII+LXXIX[/tex]

Etapa 1: [tex]CCXV+ CCCXXXIII+LXX\textcolor{#00FF00}{IX}~\mapsto ~ CCXV+ CCCXXXIII+LXXVIIII[/tex]
Etapa 2: [tex](CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~(VV)~(IIIIIII)[/tex]
Etapa 3: [tex](CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~(VV)~(IIIIIII)[/tex]
Etapa 4: [tex](CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~(VV)~(\textcolor{red}{IIIII}II) \mapsto (CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~(VV)~\textcolor{red}{V}II[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~(\textcolor{blue}{VV}V)II \mapsto (CCCCC)~(L)~(XXXXXX)~\textcolor{blue}{X}VII[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CCCCC)~(L)~(\textcolor{#FF00FF}{XXXXX}XX)VII \mapsto (CCCCC)~(L)~\textcolor{#FF00FF}{L}XXVII[/tex]
[tex]\qquad\qquad (CCCCC)~(\textcolor{#00BFFF}{LL})~XXVII \mapsto (CCCCC)~(\textcolor{#00BFFF}{C})~XXVII[/tex]
[tex]\qquad\qquad (\textcolor{#912CEE}{CCCCC}C)XXVII \mapsto \textcolor{#912CEE}{D}CXXVII[/tex]
[tex]\qquad\qquad DCXXVII[/tex]
Etapa 5: [tex] DCXXVII[/tex]

Logo, [tex]\boxed{CCXV+ CCCXXXIII+LXXIX=DCXXVII}[/tex]


Conferindo: Vocês podem verificar se as contas estão corretas, convertendo os valores para a notação regular:

  • [tex]\boxed{CCXIX + XLVII=CCLXVI}\mapsto \boxed{219+47=266}[/tex] ✓
  • [tex]\boxed{DLXIII + XCVI=DCLIX}\mapsto \boxed{563+96=659}[/tex] ✓
  • [tex]\boxed{CCXV+ CCCXXXIII+LXXIX=DCXXVII}\mapsto \boxed{215+333+79=627}[/tex] ✓

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