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Nesta Sala, vamos explorar um pouco do chamado raciocínio recursivo. Este é um assunto não muito trabalhado no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, mas que ajuda nos processos de se observar relações, criar e descrever padrões, visando generalizações na Matemática.
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Com o avanço da tecnologia, torna-se útil saber pensar recursivamente, além do que o raciocínio recursivo está presente em várias situações do nosso dia a dia. Por exemplo, podemos utilizar uma planilha do Excel e criar uma tabela para calcular o valor de uma dívida que está sob efeito de juros, utilizando apenas relações de recorrência. Além do que, alguns problemas olímpicos de Matemática apresentam elegantes soluções quando utilizamos recorrências.
Mas o que é um raciocínio recursivo?
Na Matemática, raciocinar recursivamente significa definir sequências com uma característica especial: cada uma dessas sequências tem regras próprias que permitem calcular qualquer um de seus termos em função do(s) seu(s) antecessor(es) imediato(s).
Esse tipo de sequência é denominada sequência definida recursivamente e sua respectiva regra de formação é dita uma recorrência ou uma fórmula recursiva. Vejamos três exemplos bem simples:
| Sequência 1 | Sequência 2 | Sequência 3 |
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[tex] \begin{array}{c c c c l } (5, & 7, & 9, & 11, & \cdots)\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \\ \end{array}[/tex] |
[tex] \begin{array}{c c c c c } (2, & 6, & 18, & 54, & \cdots)\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & \\ \end{array}[/tex] |
[tex] \begin{array}{c c c c c c c} (1, & 1, & 2, & 3, & 5, & 8, &\cdots)\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 & c_6 & \\ \end{array}[/tex] |
| Regra: [tex]\begin{cases} a_1=5 \\ a_n=a_{n-1}+2,\, \forall n \geqslant 2 \end{cases}[/tex] | Regra: [tex]\begin{cases} b_1=2 \\ b_n=3 \times b_{n-1} ,\, \forall n \geqslant 2 \end{cases}[/tex] | Regra: [tex]\begin{cases} c_1=1 \\c_2=1 \\ c_n=c_{n-1}+c_{n-2},\, \forall n \geqslant 3 \end{cases}[/tex] |
Os três exemplos acima mostram o objeto matemático que vamos explorar: sequências numéricas que podem ser definidas recursivamente, já que o objetivo central desta Sala de Estudo é apresentar aplicações e problemas envolvendo raciocínio recursivo.
No entanto, se você não sabe o que é uma sequência, ou sabe o que é uma sequência, mas não entendeu a breve apresentação que fizemos sobre sequências definidas via recorrência, não se preocupe: separamos três vídeos para você aprender um pouco sobre o assunto.
Dessa forma, você tem três opções para iniciar os seus estudos:
➤ assistir aos vídeos com explicações sobre sequência numérica e recorrência;
➤ conhecer aplicações de recorrência na solução de problemas de Matemática;
➤ resolver problemas de Matemática utilizando recorrências.
Essas discussões serão feitas em Salas específicas que poderão ser acessadas clicando-se em um dos botões abaixo:
Sala 1: Para você aprender um pouco mais sobre sequências e recorrências.
Sala 2: Para conhecer três interessantes aplicações de recorrência.
Sala 3: Para resolver alguns problemas, utilizando recorrência.
Embora as três Salas sejam independentes, para melhor aproveitamento do material, sugerimos que o caminho escolhido para seus estudos seja
Sala 1 ⇨ Sala 2 ⇨ Sala 3.
No canto inferior direito de cada uma das três Salas, você encontrará um link para voltar para esta Sala e, se necessário, fazer uma nova escolha. De todo modo,
Equipe COM – OBMEP
Julho de 2019.
[1] A Matemática do Ensino Médio (volume 2): Coleção do Professor de Matemática – Elon Lages Lima; Paulo Cesar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner e Augusto César Morgado.
[2] A Matemática do Ensino Médio (volume 4): Coleção do Professor de Matemática – Elon Lages Lima; Paulo Cesar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner e Augusto César Morgado.
[3] Matemática Discreta: Coleção Profmat – Augusto César Morgado; Paulo Cesar Pinto Carvalho.