.Sala de Ajuda: Triângulo de Pascal e Coeficientes Binomiais

Apresentaremos aqui algumas definições e propriedades relacionadas aos Coeficientes Binomiais e ao mecanismo numérico conhecido como Triângulo de Pascal, para ajudar na resolução de alguns problemas postados no nosso Blog.
Bom proveito!

Triângulo de Pascal e Coeficientes Binomiais


Para [tex]n[/tex] e [tex]r[/tex] números naturais tais que [tex]0\leqslant r \leqslant n[/tex], chamamos de coeficiente binomial ou número binomial o quociente denotado por [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] e assim definido: [tex]\boxed{\dbinom{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)! \, r!}}[/tex]. (Em se tratando de fatoriais, é sempre bom se lembrar de que [tex]0!=1[/tex].)
Nesta nossa breve discussão, no número binomial [tex]\dbinom{n}{r}[/tex], denominaremos [tex]n[/tex] de índice superior e [tex]r[/tex] de índice inferior.
Se [tex]n[/tex] e [tex]r[/tex] são números naturais tais que [tex]0\leqslant r \leqslant n[/tex], chamamos de Triângulo de Pascal ao triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] dispostos em linhas e colunas de forma que:

  • números binomiais que tenham o mesmo índice superior fiquem na mesma linha, ordenados sequencialmente pelos índices inferiores e
  • números binomiais que tenham o mesmo índice inferior fiquem na mesma coluna, ordenados sequencialmente pelos índices superiores.

[tex]\textcolor{#800000}{\dbinom{0}{0}\\
\dbinom{1}{0} \dbinom{1}{1}\\
\dbinom{2}{0} \dbinom{2}{1} \dbinom{2}{2}\\
\dbinom{3}{0} \dbinom{3}{1} \dbinom{3}{2}\dbinom{3}{3}\\
\dbinom{4}{0} \dbinom{4}{1} \dbinom{4}{2}\dbinom{4}{3}\dbinom{4}{4}}\\
\qquad \qquad \quad \vdots\\
\textcolor{#800000}{\dbinom{n}{0} \dbinom{n}{1} \dbinom{n}{2}\dbinom{n}{3} \dbinom{n}{4} \cdots \dbinom{n}{n}}\\
\qquad \qquad \quad \vdots\\
[/tex]

Observe que cada linha do Triângulo de Pascal possui uma quantidade finita de elementos, mas as colunas do Triângulo possuem uma quantidade infinita de elementos.
Se for conveniente, podemos escrever o Triângulo de Pascal substituindo cada coeficiente binomial por seu respectivo valor ou até mesmo dispor os números binomiais de forma a obter uma formação diferente do Triângulo.
Veja o Triângulo de Pascal com os coeficientes binomiais que definem as sete primeiras linhas calculados e visualizado nas duas formas mais utilizadas:

[tex]
\textcolor{#800000}{1 \, \\
1 \, \quad 1 \, \\
1 \, \quad 2 \, \quad 1 \, \\
1 \, \quad 3 \, \quad 3 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad 4 \, \quad 6 \, \quad \, 4 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad 5 \, \quad 10 \quad 10 \quad 5 \, \quad \, 1\\
1 \, \quad 6 \, \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad \, 1\\
1 \, \quad 7 \, \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1}\\
\qquad \qquad \quad \vdots [/tex]

\begin{equation}\textcolor{#800000}{1 \, \\
1 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 2 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 3 \, \quad \, 3 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 4 \, \quad \, 6 \, \quad \, 4 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 5 \, \quad \, 10 \, \quad \, 10 \, \quad \, 5 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 6 \, \quad \, 15 \, \quad \, 20 \, \quad \, 15 \, \quad \, 6 \, \quad \, 1 \, \\
1 \, \quad \, 7 \, \quad \, 21 \, \quad \, 35 \, \quad \, 35 \, \quad \, 21 \, \quad \, 7 \, \quad 1}\\
\vdots \end{equation}

As soluções de alguns problemas do nosso Blog utilizam propriedades dos coeficientes binomiais que podem ser visualizadas no Triângulo de Pascal. Essas propriedades serão apresentadas e ilustradas nesta Sala de ajuda, sem nos preocuparmos com suas demonstrações.

Propriedade 1: Sejam [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] números naturais não nulos. Então:

[tex] \qquad \qquad \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k + 1 \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k + 2 \\ k \end{pmatrix} + … + \begin{pmatrix} k + t \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k + t + 1 \\ k + 1 \end{pmatrix} [/tex]

Esta propriedade é conhecida como Teorema das Colunas do Triângulo de Pascal, pois ela pode ser enunciada a partir do Triângulo de Pascal da seguinte forma:

  • A soma dos primeiros elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal é igual ao elemento que está na linha seguinte e na coluna seguinte da última parcela da soma.(*)

Propriedade 2: Relação de Stifel – Sejam [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] números naturais não nulos. Então:

[tex] \qquad \qquad \begin{pmatrix} k \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k \\ t+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+1 \\ t+1 \end{pmatrix} [/tex].

Esta propriedade também pode ser enunciada a partir do Triângulo de Pascal da seguinte forma:

  • Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obtém-se o elemento situado abaixo da segunda parcela.(*)

(*) Tenham em conta que a maneira diferente de escrevermos as Propriedades 1 e 2 não são demonstrações e nem justificativas para elas.

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