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Família de ângulos

Dadas duas retas distintas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex], paralelas ou não, e uma reta [tex]t[/tex] concorrente com [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex], que denominamos de transversal, automaticamente fica definida uma família de oito ângulos, conforme ilustra a figura abaixo.

Pares desses ângulos costumam receber nomes particulares, de acordo com a posição de um deles em relação à do outro:

  • alternos internos: [tex]\boxed{\hat{d} \, \text{ e } \, \hat{f}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{c} \, \text{ e } \, \hat{e}} \, [/tex] .
  • alternos externos: [tex]\boxed{\hat{a} \, \text{ e } \, \hat{g}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{b} \, \text{ e } \, \hat{h}} \, [/tex] .
  • correspondentes: [tex]\boxed{\hat{a} \, \text{ e } \, \hat{e}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{b} \, \text{ e } \, \hat{f}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{d} \, \text{ e } \, \hat{h}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{c} \, \text{ e } \, \hat{g}} \, [/tex] .
  • opostos pelo vértice: [tex]\boxed{\hat{a} \, \text{ e } \, \hat{c}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{b} \, \text{ e } \, \hat{d}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{e} \, \text{ e } \, \hat{g}} \, [/tex] ; [tex] \, \boxed{\hat{f} \, \text{ e } \, \hat{h}} \, [/tex] .

Quando [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] não são retas paralelas, em geral, só conseguimos garantir a congruência entre os dois ângulos que compõem um par de ângulos opostos pelo vértice. (Utilizando a nossa notação, [tex]\hat{a} \, \equiv \hat{c} \, [/tex] ; [tex]\hat{b} \, \equiv \hat{d} \, [/tex] ; [tex]\hat{e} \, \equiv \hat{g} \, [/tex] ; [tex]\hat{f} \, \equiv \hat{h} \, [/tex].) No entanto, quando [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] são retas paralelas, temos apenas duas medidas para os oito ângulos definidos por cada reta transversal, e essas duas medidas somam [tex]180^\circ[/tex].
Fantástico, não é?

Com o applet abaixo, vocês podem visualizar essas duas medidas a partir de duas retas paralelas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] que estão fixas e uma reta transversal [tex]t[/tex] cuja posição pode ser modificada.

Um applet para ajudar. . .


Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para modificar a posição da reta transversal, clique sobre o ponto [tex]\textcolor{blue}{M}[/tex], mantenha o mouse pressionado e movimente verticalmente o ponto.
3) Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.


OBMEP_srg, criado com o GeoGebra

Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

Com a ajuda do applet é possível visualizar uma importantíssima propriedade da geometria plana: Se duas retas paralelas são intersectadas por uma transversal, então:

  • os pares de ângulos alternos que essa transversal define são congruentes;
  • os pares de ângulos correspondentes que essa transversal define são congruentes;
  • os pares de ângulos opostos pelo vértice que essa transversal define são congruentes.


Assim, com base na figura ao lado, temos que:

  • ângulos correspondentes são congruentes:[tex]\hat{a} \, \equiv \hat{e} \, [/tex] ; [tex]\hat{b} \, \equiv \hat{f} \, [/tex] ; [tex]\hat{d} \, \equiv \hat{h} \, [/tex] ; [tex]\hat{c} \, \equiv \hat{g} \, [/tex] ;
  • ângulos alternos internos são congruentes: [tex]\hat{d} \, \equiv \hat{f} \, [/tex] ; [tex]\hat{c} \, \equiv \hat{e} \, [/tex] ;
  • ângulos alternos externos são congruentes: [tex]\hat{a} \, \equiv \hat{g} \, [/tex] ; [tex]\hat{b} \, \equiv \hat{h} \, [/tex] ;
  • ângulos opostos pelo vértice são congruentes: [tex]\hat{a} \, \equiv \hat{c} \, [/tex] ; [tex]\hat{b} \, \equiv \hat{d} \, [/tex] ; [tex]\hat{e} \, \equiv \hat{g} \, [/tex] ; [tex]\hat{f} \, \equiv \hat{h} \, [/tex].

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