Sala 3 – Problemas – Clubes de Matemática da OBMEP

Determinantes

Problemas

Problema 1

(FEI, 1996) para que o determinante da matriz:
$\qquad \begin{bmatrix} 1+a & -1 \\ 3 & 1-a \\ \end{bmatrix}$
seja nulo, o valor de $a$ , deve ser
$\qquad$ a) $2$ ou $-2$
$\qquad$ b) $1$ ou $3$
$\qquad$ c) $-3$ ou $5$
$\qquad$ d) $-5$ ou $3$
$\qquad$ e) $4$ ou $-4$

Devemos ter

$\qquad \begin{vmatrix} 1+a & -1 \\ 3 & 1-a \\ \end{vmatrix}=0$
$\qquad (1+a)(1-a) +3=0$
$\qquad 1-a^2 +3=0$
$\qquad a^2 =4$
$\qquad \boxed{a =\pm 2}.$
Alternativa (a)

Problema 2

(UniSC, 2017) Dadas as matrizes
$\qquad A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix},$
o determinante da matriz $A\cdot B$ é
$\qquad$ a) $4$
$\qquad$ b) $6$
$\qquad$ c) $8$
$\qquad$ d) $12$
$\qquad$ e) $27$

Pelo teorema de Binet,

$\qquad \det (A\cdot B) = (\det A)\cdot (\det B)= -2\cdot (-2) = 4.$

Alternativa (a)

Problema 3

(UFOP) Considere a matriz $S =\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} \\ S_{21} & S_{22} & S_{23} \\ S_{31} & S_{32} & S_{33} \\ \end{bmatrix}$ dada por $S_{ij} = \begin{cases}0, \;\text{se}\; i\lt j\\ i+j, \;\text{se}\; i=j\\ i-j, \;\text{se}\; i\gt j \end{cases}$ .

Então, resolva a inequação $\det S \gt 3x^2$ .

Vamos determinar todos os elementos da matriz $S$ :

$S_{11} = 1+1 = 2;$
$S_{12} = 0;$
$S_{13} = 0;$
$S_{21} = 2-1 = 1;$
$S_{22} = 2+2 = 4;$
$S_{23} = 0;$
$S_{31} = 3-1= 2;$
$S_{32} = 3-2 = 1;$
$S_{33} = 3+3 = 6.$

Portanto,
$\qquad S =\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix}.$

Como $S$ é uma matriz triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Portanto,
$\qquad \det S = 2\cdot 4\cdot 6 = 48.$

Assim, temos
$\qquad 48 \gt 3x^2$
$\qquad x^2\lt 16$
$\qquad \boxed{-4\lt x\lt 4}.$

Problema 4

(PM/ES, 2018) Para saber o custo total (em reais) na produção de $x$ uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento $x$ , da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes $x$ uniformes igual ao valor do determinante.
$\qquad \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & -x & 100 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix}$
Dessa forma, para se produzir $70$ uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de
$\qquad$ a) R$ 4.100,00.
$\qquad$ b) R$ 3.500,00.
$\qquad$ c) R$ 3.100,00.
$\qquad$ d) R$ 2.500,00.
$\qquad$ e) R$ 2.100,00.

Substituindo $x$ por $70$ , temos, pela regra de Sarrus,
$\qquad \begin{vmatrix} 70 & 1 & 0 \\ 0 & -70 & 100 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix}= -4900+7000=2100.$

Alternativa (e)

Problema 5

(UESP) Se o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 2&1&0\\ k&k&k\\ 1&2&-2\\ \end{bmatrix}$ é igual a $10$ , então o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 2&1&0\\ k+4&k+3&k-1\\ 1&2&-2\\ \end{bmatrix}$ é igual a:
$\qquad$ a) $7$
$\qquad$ b) $8$
$\qquad$ c) $9$
$\qquad$ d) $10$
$\qquad$ e) $11$

Temos, através da propriedade de soma dos determinantes,

$\qquad \begin{align}\begin{vmatrix} 2&1&0\\ k+4&k+3&k-1\\ 1&2&-2\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 2&1&0\\ k&k&k\\ 1&2&-2\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2&1&0\\ 4&3&-1\\ 1&2&-2\\ \end{vmatrix}\\ &=10-1\\ &=9. \end{align}$

Alternativa (c)

Problema 6

(MS CONCURSOS, 2016) Sabendo que o determinante da matriz $A = \begin{bmatrix} x & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ -3 & -2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ é $10$ , então o determinante da matriz $B = \begin{bmatrix} 2x & -2 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \\ -6 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ é:
$\qquad$ a) $-20$
$\qquad$ b) $-10$
$\qquad$ c) $3$
$\qquad$ d) $20$

Podemos observar que as primeira e segunda colunas da matriz

$B$ correspondem às primeira e segunda colunas da matriz

$A$ multiplicadas por

$2$ e

$-1$ , respectivamente. Assim, pela propriedade da multiplicação de uma fila por uma constante, temos

$\det B = \begin{vmatrix} 2x & -2 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \\ -6 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2\cdot \begin{vmatrix} x & -2 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \\ -3 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} x & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ -3 & -2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2\cdot (-1)\cdot \det A = 2\cdot (-1)\cdot 10 = -20.$

Alternativa (a)

Problema 7

(CESGRANRIO, 2011) Se o determinante da matriz $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix}$ é igual a $4$ , então o determinante da matriz $B = \begin{bmatrix} 3b & 2c & a \\ 3e & 2f & d \\ 3h & 2i & g \\ \end{bmatrix}$ é igual a
$\qquad$ a) $872$
$\qquad$ b) $-872$
$\qquad$ c) $24$
$\qquad$ d) $-24$
$\qquad$ e) $9$

Pela propriedade da multiplicação de uma fila por uma constante, temos

$\qquad \det B = \begin{vmatrix} 3b & 2c & a \\ 3e & 2f & d \\ 3h & 2i & g \\ \end{vmatrix} = 3\cdot \begin{vmatrix} b & 2c & a \\ e & 2f & d \\ h & 2i & g \\ \end{vmatrix} = 3\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} b & c & a \\ e & f & d \\ h & i & g \\ \end{vmatrix}=6\cdot \begin{vmatrix} b & c & a \\ e & f & d \\ h & i & g \\ \end{vmatrix}.$

Agora, através da propriedade troca de filas paralelas, temos

$\qquad \det B = 6\cdot \begin{vmatrix} b & c & a \\ e & f & d \\ h & i & g \\ \end{vmatrix}= -6\cdot \begin{vmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ g & i & h \\ \end{vmatrix}= 6\cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e& f\\ g & h& i \\ \end{vmatrix}=6\cdot 4 = 24.$

Alternativa (c)

Problema 8

Uma das aplicações para determinantes é na verificação se três pontos estão alinhados ou não. Para isso, calculamos o determinante na matriz composta pelas três abscissas na primeira coluna, as três ordenadas na segunda coluna e a terceira coluna com todos os elementos iguais a $1$ . Por exemplo, os pontos $A(2, 2), B(3, 5)$ e $C(x, 11)$ estarão alinhados se o determinante da matriz a seguir for igual a zero.
$\qquad \begin{bmatrix} 2&2&1\\ 3&5&1\\ x&11&1\\ \end{bmatrix}$
O valor de $x$ que faz com que esses três pontos estejam alinhados é:
$\qquad$ a) $12$
$\qquad$ b) $10$
$\qquad$ c) $8$
$\qquad$ d) $5$
$\qquad$ e) $3$

(Extraída de Mundo Educação)

Devemos ter

$\qquad \begin{vmatrix} 2&2&1\\ 3&5&1\\ x&11&1\\ \end{vmatrix} = 0$

$\qquad 10+2x+33-22-6-5x = 0$

$\qquad -3x+15= 0$

$\qquad 3x= 15$

$\qquad \boxed{x= 5}.$

Alternativa (d)

Problema 9

Analise a matriz a seguir:

$\qquad A=\begin{bmatrix} 1&5&x\\ 4&0&7\\ 2&10&2x\\ \end{bmatrix}$

O seu determinante é igual a zero, porque
$\qquad$ a) o termo central da matriz é zero.
$\qquad$ b) a primeira e a terceira linhas são iguais.
$\qquad$ c) a primeira e a segunda colunas são múltiplas.
$\qquad$ d) a primeira e a terceira linhas são múltiplas.
$\qquad$ e) a matriz possui ordem $3$ .

(Extraída de Mundo Educação)

Repare que os elementos da terceira linha da matriz são respectivamente iguais ao dobro dos elementos da primeira linha. Por esse motivo, pela propriedade filas paralelas proporcionais, temos

$\det A=0$ . Logo, o seu determinante é igual a zero, porque a primeira e a terceira linhas são múltiplas.

Alternativa (d)

Problema 10

(Unesp–SP) Seja $A$ uma matriz. Se $A^3=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&6&14\\ 0&14&34\\ \end{bmatrix}$ , o determinante de $A$ é:
$\qquad$ a) $8$
$\qquad$ b) $2\sqrt{2}$
$\qquad$ c) $2$
$\qquad$ d) $\sqrt[3]{2}$
$\qquad$ e) $1$

$\det A^3 = 204-196 = 8.$
Por outro lado, pelo Teorema de Binet,

$\qquad \det A^3 = (\det A)\cdot (\det A)\cdot (\det A) = (\det A)^3$

$\qquad (\det A)^3=8$

$\qquad \boxed{\det A = 2}.$

Alternativa (c)

Problema 11

(UF–AM) Sendo $A = \begin{bmatrix} 1 &0 &0& 0 &0\\ -5& 0& 1 &3 &2\\ 6 &3 &0 &2& 1\\ 9 &1 &0& 2& 0\\ -1 &-1& 0 &1& 0\\ \end{bmatrix}$ uma matriz real, então o $\det A$ é:
$\qquad$ a) $-3$
$\qquad$ b) $3$
$\qquad$ c) $10$
$\qquad$ d) $-10$
$\qquad$ e) $24$

Obviamente procuramos uma maneira mais simples de resolver o problema. Dessa forma, a fim de simplificarmos os cálculos, é ideal que escolhamos a linha ou a coluna que tenha a maior quantidade possível de elementos iguais a

$0$ para aplicarmos o teorema de Laplace. Sendo assim, podemos aplicar o teorema de Laplace na 1ª linha, pois esta tem quatro elementos iguais a

$0$ . Assim,

$\qquad \det A = 1\cdot C_{11}+0\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}+0\cdot C_{14}+0\cdot C_{15}$
$\qquad \det A = C_{11}$
$\qquad \det A = (-1)^{1+1}\cdot D_{11}$
$\qquad \det A = D_{11}$ .

Repare que

$\qquad D_{11} = \begin{vmatrix} 0& 1 &3 &2\\ 3 &0 &2& 1\\ 1 &0& 2& 0\\ -1& 0 &1& 0\\ \end{vmatrix}.$

Novamente podemos aplicar o teorema de Laplace, desta vez, na 2ª coluna, pois dentre todas as linhas e colunas esta é a que possui a maior quantidade de elementos iguais a $0$ . Portanto,

$\qquad D_{11} = 1\cdot C_{12}+0\cdot C_{22}+0\cdot C_{32}+0\cdot C_{42}$
$\qquad D_{11} = C_{12}$
$\qquad D_{11} = (-1)^{1+2}D_{12}$
$\qquad D_{11} = -D_{12}$ .

Observe que $D_{12}$ acima corresponde ao menor complementar do elemento $a_{12}$ da matriz representada em $D_{11}$ . Ou seja,

$\qquad D_{11} = -D_{12} = -\begin{vmatrix} 3 &2& 1\\ 1& 2& 0\\ -1&1& 0\\ \end{vmatrix} =-3$ .

Logo,

$\qquad \det A = D_{11}$
$\qquad \boxed{\det A = -3}$

Alternativa (a)

Problema 12

(ITA, 2012) Considere a matriz quadrada $A$ em que os termos da diagonal principal são $1, 1+x_1, 1+x_2,\cdots , 1+x_n$ e todos os outros termos são iguais a $1$ . Sabe-se que $(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $\dfrac{1}{2}$ e a razão é $4$ .
Determine a ordem da matriz $A$ para que o seu determinante seja igual a $256$ .

Temos a matriz

$\qquad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1\\ 1 & 1+x_1 & 1 & 1& \cdots & 1\\ 1 & 1 & 1+x_2 & 1& \cdots & 1\\ 1 & 1& 1& 1+x_3& \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1+x_n \end{bmatrix}.$

Observe que a ordem da matriz $A$ é $n+1$ .

Aplicando a regra de Chió, obtemos uma matriz

$\qquad A’ = \begin{bmatrix} x_1 & 0& 0& \cdots & 0\\ 0 & x_2 & 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x_3& \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0& \cdots & x_n \end{bmatrix},$

de ordem $n$ , tal que $\det A = \det A'$ .

Observe que, como $A'$ é uma matriz diagonal, então $\det A'$ é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,

$\qquad \det A = \det A’ = x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \cdots \cdot x_n$
$\qquad \det A = x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \cdots \cdot x_n.$

Como $(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $\dfrac{1}{2}$ e a razão é $4$ , temos

$\qquad \det A = \left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot 4\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2\right)\cdot \cdots \cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^{n-1}\right)$
$\qquad \det A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot 4^{1+2+\cdots +n-1}$
$\qquad \det A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot 4^{\frac{(n-1)n}{2}}$
$\qquad \det A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot (2^2)^{\frac{(n-1)n}{2}}$
$\qquad \det A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot 2^{(n-1)n}$
$\qquad \det A = \dfrac{1}{2^n}\cdot 2^{(n-1)n}$
$\qquad \det A = \dfrac{2^{(n-1)n}}{2^n}$
$\qquad \det A = 2^{(n-2)n}.$

Por outro lado, temos $\det A = 256$ . Logo,

$\qquad 2^{(n-2)n} = 256 = 2^8$
$\qquad (n-2)n =8.$

Como $n$ é positivo, por se tratar da ordem da matriz, temos $n=4$ . Logo, a ordem da matriz é $n+1=5$ .

Problema 13

(ITA) Considerando que $x_1, x_2, x_3, x_4$ e $x_5$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P. A.) de razão $r$ e que $\det(A)-4\det(B)=1$ , sendo $A$ e $B$ matrizes dadas por

$\qquad A= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \\ 1 & x_5 & x_5^2 \\ \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \\ \end{bmatrix},$

calcule a razão da referida P. A.

Observe que

$A$ e

$B$ são matrizes de Vandermonde. Portanto, seus determinantes são dados por

$\qquad \det A = V(x_1,x_3,x_5) = (x_3-x_1)(x_5-x_1)(x_5-x_3) = 2r\cdot 4r\cdot 2r = 16r^3;$
$\qquad \det B = V(x_1,x_2,x_3) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) = r\cdot 2r\cdot r = 2r^3.$

Pelo enunciado, temos

$\qquad \det(A)-4\det(B)=1$
$\qquad 16r^3-4\cdot 2r^3=1$
$\qquad 8r^3=1$
$\qquad \boxed{r=\dfrac{1}{2}}.$

Equipe COM – OBMEP

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