(FEI, 1996) para que o determinante da matriz:
[tex]\qquad \begin{bmatrix}
1+a & -1 \\
3 & 1-a \\
\end{bmatrix}[/tex]
seja nulo, o valor de [tex]a[/tex], deve ser
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]2[/tex] ou [tex]-2[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]1[/tex] ou [tex]3[/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]-3[/tex] ou [tex]5[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]-5[/tex] ou [tex]3[/tex]
[tex]\qquad[/tex]e) [tex]4[/tex] ou [tex]-4[/tex]
Como [tex]S[/tex] é uma matriz triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Portanto,
[tex]\qquad \det S = 2\cdot 4\cdot 6 = 48.[/tex]
(PM/ES, 2018) Para saber o custo total (em reais) na produção de [tex]x[/tex] uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento [tex]x[/tex], da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes [tex]x[/tex] uniformes igual ao valor do determinante.
[tex]\qquad \begin{vmatrix}
x & 1 & 0 \\
0 & -x & 100 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix}[/tex]
Dessa forma, para se produzir [tex]70[/tex] uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de
[tex]\qquad[/tex]a) R$ 4.100,00.
[tex]\qquad[/tex]b) R$ 3.500,00.
[tex]\qquad[/tex]c) R$ 3.100,00.
[tex]\qquad[/tex]d) R$ 2.500,00.
[tex]\qquad[/tex]e) R$ 2.100,00.
(UESP) Se o determinante da matriz [tex]\begin{bmatrix}
2&1&0\\
k&k&k\\
1&2&-2\\
\end{bmatrix}[/tex] é igual a [tex]10[/tex], então o determinante da matriz [tex]\begin{bmatrix}
2&1&0\\
k+4&k+3&k-1\\
1&2&-2\\
\end{bmatrix}[/tex] é igual a:
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]7[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]8[/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]9[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]10[/tex]
[tex]\qquad[/tex]e) [tex]11[/tex]
Temos, através da propriedade de soma dos determinantes,
(MS CONCURSOS, 2016) Sabendo que o determinante da matriz [tex]A = \begin{bmatrix}
x & 2 & -1 \\
2 & 3 & 5 \\
-3 & -2 & 3 \\
\end{bmatrix}[/tex] é [tex]10[/tex], então o determinante da matriz [tex]B = \begin{bmatrix}
2x & -2 & -1 \\
4 & -3 & 5 \\
-6 & 2 & 3 \\
\end{bmatrix}[/tex] é:
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]-20[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]-10[/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]3[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]20[/tex]
Podemos observar que as primeira e segunda colunas da matriz [tex]B[/tex] correspondem às primeira e segunda colunas da matriz [tex]A[/tex] multiplicadas por [tex]2[/tex] e [tex]-1[/tex], respectivamente. Assim, pela propriedade da multiplicação de uma fila por uma constante, temos
[tex]\det B = \begin{vmatrix}
2x & -2 & -1 \\
4 & -3 & 5 \\
-6 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix} = 2\cdot \begin{vmatrix}
x & -2 & -1 \\
2 & -3 & 5 \\
-3 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix} = 2\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix}
x & 2 & -1 \\
2 & 3 & 5 \\
-3 & -2 & 3 \\
\end{vmatrix} = 2\cdot (-1)\cdot \det A = 2\cdot (-1)\cdot 10 = -20.[/tex]
Alternativa (a)
Problema 7
(CESGRANRIO, 2011) Se o determinante da matriz [tex]A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}[/tex] é igual a [tex]4[/tex], então o determinante da matriz [tex]B = \begin{bmatrix}
3b & 2c & a \\
3e & 2f & d \\
3h & 2i & g \\
\end{bmatrix}[/tex] é igual a
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]872[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]-872[/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]24[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]-24[/tex]
[tex]\qquad[/tex]e) [tex]9[/tex]
Pela propriedade da multiplicação de uma fila por uma constante, temos
[tex]\qquad \det B = \begin{vmatrix}
3b & 2c & a \\
3e & 2f & d \\
3h & 2i & g \\
\end{vmatrix} = 3\cdot \begin{vmatrix}
b & 2c & a \\
e & 2f & d \\
h & 2i & g \\
\end{vmatrix} = 3\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}
b & c & a \\
e & f & d \\
h & i & g \\
\end{vmatrix}=6\cdot \begin{vmatrix}
b & c & a \\
e & f & d \\
h & i & g \\
\end{vmatrix}.[/tex]
Agora, através da propriedade troca de filas paralelas, temos
[tex]\qquad \det B = 6\cdot \begin{vmatrix}
b & c & a \\
e & f & d \\
h & i & g \\
\end{vmatrix}= -6\cdot \begin{vmatrix}
a & c & b \\
d & f & e \\
g & i & h \\
\end{vmatrix}= 6\cdot \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e& f\\
g & h& i \\
\end{vmatrix}=6\cdot 4 = 24.[/tex]
Alternativa (c)
Problema 8
Uma das aplicações para determinantes é na verificação se três pontos estão alinhados ou não. Para isso, calculamos o determinante na matriz composta pelas três abscissas na primeira coluna, as três ordenadas na segunda coluna e a terceira coluna com todos os elementos iguais a [tex]1[/tex]. Por exemplo, os pontos [tex]A(2, 2), B(3, 5)[/tex] e [tex]C(x, 11)[/tex] estarão alinhados se o determinante da matriz a seguir for igual a zero.
[tex]\qquad \begin{bmatrix}
2&2&1\\
3&5&1\\
x&11&1\\
\end{bmatrix}[/tex]
O valor de [tex]x[/tex] que faz com que esses três pontos estejam alinhados é:
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]12[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]10[/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]8[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]5[/tex]
[tex]\qquad[/tex]e) [tex]3[/tex]
O seu determinante é igual a zero, porque
[tex]\qquad[/tex]a) o termo central da matriz é zero.
[tex]\qquad[/tex]b) a primeira e a terceira linhas são iguais.
[tex]\qquad[/tex]c) a primeira e a segunda colunas são múltiplas.
[tex]\qquad[/tex]d) a primeira e a terceira linhas são múltiplas.
[tex]\qquad[/tex]e) a matriz possui ordem [tex]3[/tex].
Repare que os elementos da terceira linha da matriz são respectivamente iguais ao dobro dos elementos da primeira linha. Por esse motivo, pela propriedade filas paralelas proporcionais, temos [tex]\det A=0[/tex]. Logo, o seu determinante é igual a zero, porque a primeira e a terceira linhas são múltiplas.
Alternativa (d)
Problema 10
(Unesp–SP) Seja [tex]A[/tex] uma matriz. Se [tex]A^3=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&6&14\\
0&14&34\\
\end{bmatrix}[/tex], o determinante de [tex]A[/tex] é:
[tex]\qquad[/tex]a) [tex]8[/tex]
[tex]\qquad[/tex]b) [tex]2\sqrt{2} [/tex]
[tex]\qquad[/tex]c) [tex]2[/tex]
[tex]\qquad[/tex]d) [tex]\sqrt[3]{2}[/tex]
[tex]\qquad[/tex]e) [tex]1[/tex]
[tex]\det A^3 = 204-196 = 8.[/tex]
Por outro lado, pelo Teorema de Binet,
[tex]\qquad \det A^3 = (\det A)\cdot (\det A)\cdot (\det A) = (\det A)^3[/tex]
[tex]\qquad (\det A)^3=8[/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det A = 2}.[/tex]
Obviamente procuramos uma maneira mais simples de resolver o problema. Dessa forma, a fim de simplificarmos os cálculos, é ideal que escolhamos a linha ou a coluna que tenha a maior quantidade possível de elementos iguais a [tex]0[/tex] para aplicarmos o teorema de Laplace. Sendo assim, podemos aplicar o teorema de Laplace na 1ª linha, pois esta tem quatro elementos iguais a [tex]0[/tex]. Assim,
[tex]\qquad \det A = 1\cdot C_{11}+0\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}+0\cdot C_{14}+0\cdot C_{15}[/tex]
[tex]\qquad \det A = C_{11}[/tex]
[tex]\qquad \det A = (-1)^{1+1}\cdot D_{11}[/tex]
[tex]\qquad \det A = D_{11}[/tex].
Novamente podemos aplicar o teorema de Laplace, desta vez, na 2ª coluna, pois dentre todas as linhas e colunas esta é a que possui a maior quantidade de elementos iguais a [tex]0[/tex]. Portanto,
Observe que [tex]D_{12}[/tex] acima corresponde ao menor complementar do elemento [tex]a_{12}[/tex] da matriz representada em [tex]D_{11}[/tex]. Ou seja,
[tex]\qquad \det A = D_{11}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det A = -3}[/tex]
Alternativa (a)
Problema 12
(ITA, 2012) Considere a matriz quadrada [tex]A[/tex] em que os termos da diagonal principal são [tex]1, 1+x_1, 1+x_2,\cdots , 1+x_n[/tex] e todos os outros termos são iguais a [tex]1[/tex]. Sabe-se que [tex](x_1, x_2, \cdots , x_n)[/tex] é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] e a razão é [tex]4[/tex].
Determine a ordem da matriz [tex]A[/tex] para que o seu determinante seja igual a [tex]256[/tex].
Como [tex]n[/tex] é positivo, por se tratar da ordem da matriz, temos [tex]n=4[/tex]. Logo, a ordem da matriz é [tex]n+1=5[/tex].
Problema 13
(ITA) Considerando que [tex]x_1, x_2, x_3, x_4[/tex] e [tex]x_5[/tex] são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P. A.) de razão [tex]r[/tex] e que [tex]\det(A)-4\det(B)=1[/tex], sendo [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] matrizes dadas por
