Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Sônia comprou um carro novo. Em comparação com seu carro antigo, o novo carro possui uma eficiência, em quilômetros rodados por litro de combustível, [tex]50\%[/tex] maior.
Entretanto, este novo carro possui motor a gasolina, que é um combustível [tex]20\%[/tex] mais caro que o tipo de combustível usado em seu carro antigo.
Qual o percentual de economia de dinheiro com combustível que Sônia irá ter usando seu novo carro, com relação ao carro antigo?
Solução
- Suponha que o carro antigo de Sônia tivesse uma eficiência de [tex]K[/tex] quilômetros por litro.
- O carro antigo percorria [tex]K \, km [/tex] com [tex]1[/tex] litro de combustível .
- O carro novo percorre [tex]K \, km [/tex] com [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] litro de combustível.
- Suponha, agora, que o custo do litro do combustível do carro antigo seja [tex]C[/tex] reais.
Como o combustível para o carro novo é [tex]20\%[/tex] mais caro, então o custo do litro desse combustível será [tex]120\%[/tex] de [tex]C[/tex], que resulta em [tex]\dfrac{120}{100}C=\dfrac{6}{5}C[/tex] reais. - O litro de combustível para o carro antigo custava [tex]C[/tex] reais.
- O litro de combustível para o carro novo custa [tex]\dfrac{6}{5}C[/tex] reais.
- Portanto, pelo exposto,
- usar o carro antigo para percorrer [tex]K \, km [/tex] custava [tex]C[/tex] reais;
- usar o carro novo para percorrer [tex]K \, km[/tex] custará [tex]\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{6}{5}\cdot C\right)= \dfrac{4}{5}C[/tex] reais.
Como o carro novo tem uma eficiência de combustível [tex]50\%[/tex] maior, então, em relação ao original, o carro novo de Sônia possui uma eficiência de [tex]150\%[/tex] de [tex]K[/tex], o que nos dá [tex]\dfrac{150}{100} K = \dfrac{3}{2} K[/tex] km por litro. Mas isso é o mesmo que dizer que o carro novo consegue percorrer [tex]K[/tex] quilômetros com [tex]\frac{2}{3}[/tex] de litro de combustível, conforme mostra a regrinha de três abaixo.
| [tex]\dfrac{3}{2} K \, [/tex] km | —————————- | [tex]1 \, [/tex] litro | Temos que [tex]\boxed{N \cdot \left(\dfrac{3}{2} \, K\right)=1\cdot K}[/tex]; donde [tex]\boxed{N =\dfrac{2}{3}}[/tex]. |
| [tex]K \, [/tex] km | —————————- | [tex]N[/tex] litros |
Assim:
Assim:
Vamos, finalmente, calcular o percentual de economia de dinheiro que Sônia irá ter usando seu novo carro.
Tomando o custo de [tex]C[/tex] reais como [tex]100\%[/tex], temos a regra de três abaixo.
| [tex]C[/tex] reais | —————————- | [tex]100\%[/tex] |
| [tex] \dfrac{4}{5}C[/tex] reais | —————————- | [tex]P\%[/tex] |
Assim, [tex]\boxed{C\cdot P=\dfrac{4}{5}C \cdot 100}[/tex]; ou seja, [tex]\boxed{P =\dfrac{400}{5}=80}[/tex].
Observe que esse percentual poderia ser obtido diretamente da informação de que” usar o carro novo para percorrer [tex]K \, km[/tex] custará [tex]\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{6}{5}\cdot C\right)= \dfrac{4}{5}C[/tex] reais”, já que [tex] \dfrac{4}{5}C=0,8C[/tex].
De qualquer forma, vemos que o gasto com o combustível do carro novo é [tex]80\%[/tex] do gasto com o combustível do carro antigo, portanto a economia que Sônia irá ter usando seu novo carro no item combustível será de [tex]20\%[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.