.Problemão: Tangente da soma

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(Moscow Mathematical Olympiads, 1993-1999 – Adaptado) Sejam $\tan x+\tan y=p$ e $\cot x+\cot y=q$ , com $\tan x, \tan y\neq 0$ , $\tan x\neq \tan y$ e $p\neq q$ .
Calcule $\tan (x+y)$ .

Lembretes

$\textcolor{#800000}{\textbf{(i)}}$ $\boxed{\cot a=\dfrac{1}{\tan a}}$ , com $a\neq k\dfrac{\pi}{2}$ , $k\in \mathbb{Z}$ .
$\textcolor{#800000}{\textbf{(ii)}}$ Dados dois ângulos $a$ e $b$ , com $a,b, a+b\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$ , tem-se:
$\qquad \boxed{\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}} \, .$

Solução

Pelos dados do problema temos que $\cot x+\cot y=q$ ; então, do $\textbf{Lembrete (i)}$ , tem-se
$\qquad \dfrac{1}{\tan x}+\dfrac{1}{\tan y}=q \\ \qquad \dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x\cdot \tan y}=q\\ \qquad \tan x\cdot \tan y=\dfrac{\tan x+\tan y}{q}.\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(1)}$
Como $\tan x+\tan y=p$ , substituindo em $\textcolor{#800000}{(1)}$ obtemos
$\qquad \tan x\cdot \tan y=\dfrac{p}{q}.\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(2)}$
Do $\textbf{Lembrete (ii)}$ e da equação $\textcolor{#800000}{(2)}$ temos
$\qquad \tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}\\ \qquad \tan(x+y)=\dfrac{p}{1-\dfrac{p}{q}}\\ \qquad \tan(x+y)=\dfrac{p}{\dfrac{q-p}{q}}\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\tan(x+y)=\dfrac{pq}{q-p}$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.