Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Sem efetuar as somas e os produtos, simplifique a seguinte fração:
[tex]\qquad\qquad\dfrac{1\cdot2\cdot3+2\cdot4\cdot6+4\cdot8\cdot12+7\cdot14\cdot21}{1\cdot3\cdot5+2\cdot6\cdot10+4\cdot12\cdot20+7\cdot21\cdot35}[/tex].
Solução 1
Observe que tanto no numerador como no denominador cada parcela possui [tex]3[/tex] como fator,
[tex]\quad \quad \Large E = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \,\,+\,\, 2 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 3) \,\,+\,\, 4 \cdot 8 \cdot (3 \cdot 4) \,\,+\,\, 7 \cdot 14 \cdot (3 \cdot 7)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \,\,+\,\, 2\cdot (3 \cdot 2) \cdot 10 \,\,+\,\, 4 \cdot (3 \cdot 4) \cdot 20 \,\,+\,\, 7 \cdot (3 \cdot 7) \cdot 35}\,[/tex].
Assim, dividindo tanto o numerador como o denominador por [tex]3[/tex] ficamos com
[tex]\quad \quad \Large E = \frac{1 \cdot 2 \,\,+\,\, 2 \cdot 4 \cdot 2 \,\,+\,\, 4 \cdot 8 \cdot 4 \,\,+\,\, 7 \cdot 14 \cdot 7}{1 \cdot 5 \,\,+\,\, 2\cdot 2 \cdot 10 \,\,+\,\, 4 \cdot 4 \cdot 20 \,\,+\,\, 7 \cdot 7 \cdot 35}\,[/tex].
Observe, agora, que no numerador todas as parcelas possuem [tex]2[/tex] como fator e todas as parcelas no denominador possuem o fator [tex]5[/tex]. Assim, colocando [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex] em evidência no numerador e no denominador, respectivamente, temos:
[tex]\quad \quad \Large E = \frac{2 \cdot (1\,\,+\,\, 4 \cdot 2\,\,+\,\,4 \cdot 4\cdot 4 \,\,+\,\, 7 \cdot 7 \cdot 7)}{5\cdot (1 \,\,+\,\, 4\cdot 2 \,\,+\,\, 4 \cdot 4 \cdot 4 \,\,+\,\, 7 \cdot 7 \cdot 7)}[/tex]
e, com isso, temos como resultado [tex]\Large E = \frac{2}{5}[/tex].
Solução enviada pelo Clube OLÍMPICOS FEDERAIS.
Solução 2
Observe a seguinte sequência de igualdades:
[tex]\quad \quad\dfrac{1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 4\cdot 6+4\cdot 8\cdot 12+7\cdot 14\cdot 21}{1\cdot 3\cdot 5+2\cdot 6\cdot 10+4\cdot 12\cdot 20+7\cdot 21\cdot 35}=\\
\qquad \quad =\dfrac{1\cdot 2\cdot 3+2^3(1\cdot 2\cdot 3)+4^3(1\cdot 2\cdot 3)+7^3(1\cdot 2\cdot 3)}{1\cdot 3\cdot 5+2^3(1\cdot 3\cdot 5)+4^3(1\cdot 3\cdot 5)+7^3(1\cdot 3\cdot 5)}=\\
\qquad \quad =\dfrac{(1\cdot 2\cdot 3)(1+2^3+4^3+7^3)}{(1\cdot 3\cdot 5)(1+2^3+4^3+7^3)}=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 3\cdot 5}=\dfrac{2}{5}\,.[/tex]
Assim,
[tex]\quad \quad\dfrac{1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 4\cdot 6+4\cdot 8\cdot 12+7\cdot 14\cdot 21}{1\cdot 3\cdot 5+2\cdot 6\cdot 10+4\cdot 12\cdot 20+7\cdot 21\cdot 35}=\dfrac{2}{5}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.