Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma caixa há 10 dados, sendo 5 azuis e 5 vermelhos. Sofia retira dessa caixa 5 dados, simultaneamente, sem olhar a cor dos dados.
Qual é a probabilidade de que pelo menos quatro dados sejam azuis?
Adaptado de PUC – RIO, 2022.
Solução 1
Existem as seguintes possibilidades de retiradas:
- 5 dados azuis;
Neste caso, o total de maneiras de isso ocorrer é igual a [tex]1[/tex], pois só existem 5 dados azuis na caixa. - 4 dados azuis e 1 vermelho;
Neste caso, o total de maneiras de isso ocorrer é [tex]C_{5,4}\times C_{5,1} = 5\times 5 = 25[/tex]. - 3 dados azuis e 2 vermelhos;
Neste caso, o total de maneiras de isso ocorrer é [tex]C_{5,3}\times C_{5,2} = 10\times 10 = 100[/tex]. - 2 dados azuis e 3 vermelhos;
Assim como no terceiro caso, o total de maneiras de isso ocorrer é [tex]C_{5,2}\times C_{5,3} = 10\times 10 = 100[/tex]. - 1 dado azul e 4 vermelhos;
Assim como no segundo caso, o total de maneiras de isso ocorrer é [tex]C_{5,1}\times C_{5,4} = 5\times 5 = 25[/tex]. - 5 dados vermelhos;
Finalmente, como no primeiro caso, o total de maneiras de isso ocorrer é igual a [tex]1[/tex], pois só existem 5 dados vermelhos na caixa.
Logo, o total de maneiras diferentes de retiradas, é [tex]1+25+100+100+25+1 = 252[/tex]. De todos esses casos, apenas os dois primeiros nos interessam. Portanto, a probabilidade de que pelo menos quatro dados sejam azuis, é [tex]\dfrac{1+25}{252}=\boxed{\dfrac{13}{126}}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considerando que dados de mesma cor sejam diferentes e A e V representam os dados azuis e vermelhos, respectivamente, temos dois casos em que o evento dito no enunciado acontece:
- Caso AAAAV
Escolhendo ao acaso [tex]4[/tex] dados azuis e [tex]1[/tex] vermelho, temos [tex]C_{5,4}\cdot C_{5,1} = 25[/tex] configurações distintas. - Caso AAAAA
Escolhendo os [tex]5[/tex] dados azuis, temos [tex]C_{5,5} = 1[/tex] configuração.
Escolhendo [tex]5[/tex] dados ao acaso, temos [tex]C_{10, 5} = 252[/tex] configurações distintas possíveis. Logo, a probabilidade de que pelo menos quatro dados sejam azuis é:
[tex]\qquad P = \dfrac{C_{5, 4}\cdot C_{5, 1} + C_{5, 5}}{C_{10, 5}}[/tex]
[tex]\qquad P = \dfrac{26}{252}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{P = \dfrac{13}{126}}.[/tex]
Solução elaborada pelo COM União Fibonacci.