Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Se os preços dos produtos de um supermercado aumentam [tex]60\%[/tex], em quantos por cento uma família deve reduzir suas compras para manter inalterada sua despesa com supermercado?
Solução 1
Se os preços de cada produto aumentaram em [tex]60\%[/tex] então o gasto da família com cada produto aumentou em [tex]60\%[/tex].
Façamos então um exemplo:
A família gastava [tex]10[/tex] reais em [tex]10[/tex] ovos e [tex]30[/tex] reais em [tex]15[/tex] laranjas. Significa que eles pagavam [tex]1[/tex] real por um ovo e [tex]2[/tex] reais por uma laranja, até aumentar em [tex]60\%[/tex] o valor desses produtos. [tex]60\%[/tex] do valor do ovo é [tex]0,6[/tex] real e [tex]60\%[/tex] do valor da laranja é [tex]1,2[/tex] real. Somando esses valores ao valor original teremos o novo preço desse produtos. O ovo ficou custando [tex]1,6[/tex] real e a laranja [tex]3,2[/tex] reais, que quando multiplicado pela quantia que eles compram de cada um desses produtos ficará:
[tex]\qquad 1,6 \times 10 = 16[/tex] reais, ou seja, [tex]10[/tex] ovos;
[tex]\qquad 3,2 \times 15=48[/tex] reais, ou seja, [tex]15[/tex] laranjas.
O preço das laranjas que era [tex]30[/tex] reais foi para [tex]48[/tex] reais, então aumentou [tex]18[/tex] reais no preço das laranjas. O preço dos ovos que era [tex]10[/tex] reais aumentou para [tex]16[/tex] reais, então aumentou [tex]6[/tex] reais no preço dos ovos.
Se o preço da laranja aumentou em [tex]18[/tex] reais, então pegando esse valor e dividindo pelo preço de uma laranja teremos quantos reais em laranjas é preciso tirar da feira da família para eles voltarem a pagar o valor que eles pagavam antes de aumentar o preço, e do mesmo jeito com os ovos.
[tex]\qquad 18 / 3,2 = 5,625[/tex]
[tex]\qquad 6 / 1,6 = 3,75[/tex]
Então, eles precisam tirar [tex]5,625[/tex] laranjas da sua feira, e [tex]3,75[/tex] ovos da sua feira (não faz sentido neste exemplo específico, mas não é válido arredondar os valores porque queremos um resultado geral, independente deste exemplo).
Transformando esses valores em porcentagem, baseando-se na quantia total desses produtos ([tex]15 =[/tex] total de laranjas, então em porcentagem será [tex]100\%[/tex]), então [tex]0,15[/tex] equivale a [tex]1\%[/tex] desse total, então [tex]5,625[/tex] equivale a [tex]37,5\%[/tex] desse total e no caso do ovo consideramos a quantia total desse produto como sendo o total, então [tex]3,75[/tex] equivale a [tex]37,5\%[/tex] desse total.
Então, concluímos que é preciso eles tirarem [tex]37,5\%[/tex] de cada produto da sua feira para voltarem a pagar o que pagavam antes, pois o raciocínio vale para cada produto.
Solução elaborada pelo COM Os Nóbregas, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considere [tex]G[/tex] o gasto com um tipo de produto comprado antes do aumento, [tex]P[/tex] o preço da unidade desse produto sem o aumento e [tex]Q[/tex] a quantidade do produto em questão na compra no supermercado. Assim:
- [tex]G=P \cdot Q \qquad(i)[/tex].
Após o aumento, queremos manter [tex]G[/tex]; assim, se [tex]Q’[/tex] é a nova quantidade comprada no supermercado do mesmo produto, então
- [tex]G=1,6 \cdot P \cdot Q’ \qquad(ii)[/tex].
Por [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], temos que [tex]P \cdot Q = 1,6 \cdot P \cdot Q’ [/tex], mas
[tex]\quad \begin{align*}P \cdot Q = 1,6 \cdot P \cdot Q’ & \iff \dfrac{1,6\cdot P \cdot Q’}{P \cdot Q} =1 \\
&\iff \dfrac{Q’}{Q} =\dfrac{1}{1,6}=0,625=62,5\%\,.\end{align*}[/tex]
Dessa forma, a quantidade de cada produto comprado antes do aumento deverá ser reduzida de [tex]37,5\%[/tex] para que a família mantenha inalterada sua despesa com supermercado.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.