Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Qual a quantidade de números ímpares, compreendidos entre [tex]1\ 000[/tex] e [tex]9\ 999[/tex], cuja soma dos algarismos é [tex]18[/tex] e que possuem três algarismos iguais?
Solução
Para desenvolver essa questão, podemos analisar os possíveis três algarismos repetidos (que só podem estar entre [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex]), levando em conta que devemos encontrar a soma de [tex]4[/tex] algarismos que resulte em [tex]18[/tex], sendo o número ímpar.
Primeiramente, verificamos que, se o número [tex]1[/tex] for aquele que se repete, não existe número que resulte no esperado pois, com o número [tex]X111[/tex], com algarismos em qualquer ordem, temos que [tex]X+1+1+1 \not= 18[/tex]. Por que isso acontece? O motivo é simples: essa soma nunca será igual a [tex]18[/tex], não importa qual seja o [tex]X[/tex] entre [tex]0[/tex] e [tex]9[/tex]. Pelo mesmo motivo, o algarismo que se repete não pode ser o [tex]2[/tex].
O algarismo que se repete também não pode ser [tex]4[/tex], pois o número [tex]{X444}[/tex] seria par, independentemente da posição dos algarismos, o mesmo acontecendo com o algarismo [tex]6[/tex] se repetindo.
Para os algarismos [tex]7[/tex], [tex]8[/tex] e [tex]9[/tex] se repetindo, teremos uma soma maior que [tex]18[/tex] para qualquer [tex]X[/tex] variando de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex].
Pode-se analisar que, se os números [tex]3[/tex] e [tex]5[/tex] são os que se repetem, existem soluções, pois: [tex]3+3+3+9=18[/tex] e [tex]5+5+5+3=18[/tex].
Lembre-se de que o número precisa ser ímpar, mas perceba que não importa a posição que todos eles estão, pois os algarismos são todos ímpares em ambos os casos.
Para “embaralhar” os números [tex]3,3,3,9[/tex], temos as seguintes opções: [tex]3\,339, 3\,393, 3\,933, 9\,333[/tex]. Isso mostra que, com os números [tex]3,3,3,9[/tex] podemos formar [tex]4[/tex] números, e o mesmo é válido para [tex]5,5,5,3[/tex].
Veja que
[tex]\qquad 9+3+3+3 = 3+9+3+3 = 3+3+9+3 = 3+3+3+9=18,[/tex]
e que
[tex]\qquad 3+5+5+5=5+3+5+5=5+5+3+5=5+5+5+3=18[/tex].
Portanto, a quantidade de números ímpares entre [tex]1\,000[/tex] e [tex]9\,999[/tex], cuja soma resulta em [tex]18[/tex] e que possuem exatamente [tex]3[/tex] algarismos repetidos é [tex]8[/tex].
Solução elaborada pelo COM Phidias, com contribuições dos Moderadores do Blog.