Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Pedrinho encontrou um quadro negro com [tex]10[/tex] números naturais de dois dígitos escritos.
Por curiosidade, ele dividiu cada um dos números por [tex]6[/tex]. Destas divisões, três deixaram resto [tex]0[/tex], duas deixaram resto [tex]1[/tex], uma deixou resto [tex]2[/tex], uma deixou resto [tex]3[/tex], duas deixaram resto [tex]4[/tex] e uma deixou resto [tex]5[/tex].
Qual é a maior quantidade possível de números primos presentes no quadro encontrado por Pedrinho?
Solução
- Observe que, dos [tex]10[/tex] números inicialmente presentes no quadro negro, três eram múltiplos de [tex]6[/tex] e, portanto, esses três números eram compostos.
- Seja [tex]n[/tex] o número que deixou resto [tex]2[/tex] quando dividido por [tex]6[/tex]; assim, [tex]n=6k+2[/tex], com [tex]k\in \mathbb{N}[/tex].
Sendo [tex]k[/tex] um número natural, [tex]n[/tex] é um número par. Do fato de ter dois dígitos, segue que [tex]n[/tex] é um número par maior do que [tex]2[/tex] e, portanto, um número composto. - Seja [tex]m[/tex] o número que deixou resto [tex]3[/tex] quando dividido por [tex]6[/tex]; então, [tex]m=6q+3[/tex], com [tex]q\in \mathbb{N}[/tex].
Como [tex]q[/tex] é um número natural, segue que [tex]m[/tex] é um número múltiplo de [tex]3[/tex]. Do fato de ter dois dígitos, segue que [tex]m[/tex] é um número múltiplo de [tex]3[/tex] maior do que [tex]3[/tex] e, também, um número composto. - Da mesma forma podemos concluir que os dois números que deixaram resto [tex]4[/tex] quando divididos por [tex]6[/tex] são pares maiores do que [tex]2[/tex] e, consequentemente, esses dois números também são compostos.
Assim, sete dos dez números são compostos.
- Por último, observe que:
- é possível obter dois números primos de dois dígitos que deixam resto [tex]1[/tex], quando divididos por [tex]6[/tex]; por exemplo, os números primos [tex]13[/tex] e [tex]19[/tex],
- e é possível obter um número primo que, quando dividido por [tex]6[/tex], deixa resto [tex]5[/tex]: [tex]17 \, .[/tex]
Assim, existia no máximo três números primos no quadro negro encontrado por Pedrinho.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.