Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais não nulos.
Sabendo que as proporções [tex]\boxed{\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}}[/tex] são válidas, qual o valor numérico da expressão [tex] \, \boxed{\dfrac{a+b}{c}} \, [/tex]?
Lembrete
Em uma proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente.
Em símbolos:
[tex] \dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{t} \, \Rightarrow \, \begin{cases}
\dfrac{x\pm z}{y\pm t}=\dfrac{x}{y}\\
\, \, \\
\dfrac{x\pm z}{y\pm t}=\dfrac{z}{t}\\
\end{cases}[/tex].
Solução
- Se [tex]a+b+c\ne 0[/tex], a partir das proporções [tex]\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}[/tex] e da propriedade citada no Lembrete, podemos garantir que:
- Agora, se [tex]a+b+c= 0[/tex], temos que [tex]a+b=-c[/tex]. Logo,
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{2\cdot (a+b+c)}{a+b+c}.\\ \, \, [/tex]
Portanto,
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{a+b}{c}}=\dfrac{2\cdot (a+b+c)}{a+b+c}=\boxed{2}.[/tex]
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{a+b}{c}}=\dfrac{-c}{c}=\boxed{-1}.[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{a+b}{c}=-1$} \, [/tex] ou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{a+b}{c}=2$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.