Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 1 – Gelson Iezzi; Carlos Murakami) Os pares ordenados [tex](1,2), (2,6), (3,7), (4,8)[/tex] e [tex](1,9)[/tex] pertencem ao produto cartesiano [tex]A\times B[/tex].
Sabendo que [tex]A\times B[/tex] tem [tex]20[/tex] elementos, calcule a soma dos elementos do conjunto [tex]A[/tex].
Lembretes
(1) Dados os conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] temos que [tex]A\times B=\{(x,y)\;|\; x\in A\;\mbox{e}\;y\in B\}[/tex]
(2) Se os conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] possuem, respectivamente, [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] elementos então [tex]A\times B[/tex] tem [tex]m\cdot n[/tex] elementos.
Solução
A partir das hipóteses, podemos fazer as observações a seguir.
- Como os pares ordenados [tex](1,2), (2,6), (3,7), (4,8)[/tex] e [tex](1,9)[/tex] pertencem a [tex]A\times B[/tex], pelo Lembrete (1) , podemos concluir que:
- os elementos [tex]1, 2, 3[/tex] e [tex]4[/tex] pertencem ao conjunto [tex]A[/tex];
- os elementos [tex]2, 6, 7, 8[/tex] e [tex]9[/tex] pertencem ao conjunto [tex]B[/tex].
- Pelo Lembrete (2), temos que as possíveis cardinalidades dos conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], respectivamente, são:
- [tex]1[/tex] e [tex]20[/tex];
[tex]2[/tex] e [tex]10[/tex];
[tex]4[/tex] e [tex]5[/tex];
[tex]5[/tex] e [tex]4[/tex];
[tex]10[/tex] e [tex]2[/tex];
[tex]20[/tex] e [tex]1[/tex].
Dessa forma, como "[tex]1, 2, 3[/tex] e [tex]4[/tex] pertencem ao conjunto [tex]A[/tex]" e "[tex]2, 6, 7, 8[/tex] e [tex]9[/tex] pertencem ao conjunto [tex]B[/tex]"; então [tex]A[/tex] tem no mínimo quatro elementos e [tex]B[/tex], cinco. Assim, das possibilidades de cardinalidades para [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], concluímos que o conjunto [tex]A[/tex] possui exatamente quatro elementos e que [tex]B[/tex] possui exatamente cinco elementos, ou seja, [tex]A=\{1,2,3,4\}[/tex] e [tex]B=\{2,6,7,8,9\}[/tex].
Portanto, a soma dos elementos de [tex]A[/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1+2+3+4=10$}\,.[/tex]
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