Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(Retirado de uma apostila de problemas de olimpíadas do Colégio Batista Santos Dumont – Fortaleza) Pedro foi a uma loja e separou quatro pares de meias de cor preta e alguns pares de meias de cor azul. No caixa, ao efetuar o pagamento, o número de pares de meias das duas cores foi trocado e, desta forma, o valor da compra teve um acréscimo de [tex]50\%[/tex].
Determine quantos pares de meias de cor azul Pedro separou inicialmente sabendo que o preço do par da meia preta é o dobro do preço do par da meia azul.
Solução
Sejam [tex]x[/tex] o número de pares de meias azuis e [tex]y[/tex] o preço de cada par dessa meia. Desta forma, cada par da meia preta custa [tex]2 \cdot y[/tex] e podemos então concluir que o valor correto da compra seria [tex]\boxed{x \cdot \left(y\right)+4 \cdot\left( 2 \cdot y \right)}.[/tex]
Porém, como houve a troca das quantidades adquiridas das meias, temos que o valor pago é [tex]\boxed{4 \cdot \left(y\right)+x \cdot\left( 2 \cdot y \right)}.[/tex]
Por outro lado, o valor efetivamente pago foi [tex]50 \%[/tex] mais caro que o correto e, assim,
[tex]\qquad 1,5 \cdot (x \cdot y +4 \cdot 2 \cdot y)=4 \cdot y+2 \cdot x \cdot y\,\, .[/tex]
Multiplicando ambos os membros dessa equação por [tex]2[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 2 \cdot \left[1,5 \cdot (x \cdot y +4 \cdot 2 \cdot y)\right]=2 \cdot \left[4 \cdot y+2 \cdot x \cdot y\right][/tex]
[tex]\qquad 3 \cdot (x \cdot y +4 \cdot 2 \cdot y)=8 \cdot y+4 \cdot x \cdot y[/tex]
[tex] \qquad 3 \cdot x \cdot y+24 \cdot y=8 \cdot y+4 \cdot x \cdot y[/tex]
[tex]\qquad x \cdot y=16 \cdot y\,[/tex],
e, supondo [tex]y\ne 0[/tex], concluímos que
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=16$}~.[/tex]
Portanto, Pedro separou inicialmente [tex]16[/tex] pares de meias azuis.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.