.Probleminha: Outro poeminha matemático

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Quem sou eu?
Se o meu quatro fosse um nove
e o meu seis fosse um três,
aquilo que sou apenas valeria
menos um de metade do que eu seria.
Tenho três dígitos,
só três numa fila…
Então, quem sou eu?
Quem é que adivinha?

poema

Adaptado de Desafios 3 – Eduardo Veloso e José Paulo Viana; Edições Afrontamento.

Solução


Eu sou o 468.
Consideremos [tex]N[/tex] o número que queremos adivinhar e [tex]M[/tex] o segundo número, obtido do primeiro por meio das transformações indicadas no poema.
[tex]N[/tex] é formado por [tex]3[/tex] dígitos. Como o próprio [tex]N[/tex] nos fala no “meu seis” e no “meu quatro”, isso quer dizer que [tex]N[/tex] contém os dígitos [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex] e ainda outro dígito [tex]d[/tex], por enquanto desconhecido. Qual seria, então, a ordem dos dígitos [tex]6[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]d[/tex]?

  • O dígito [tex]6[/tex] não pode ser o primeiro, por que para passar de [tex]N[/tex] para [tex]M[/tex] substitui-se [tex]6[/tex] por [tex]3[/tex] e o poema diz que [tex]M[/tex] é aproximadamente o dobro de [tex]N[/tex].
  • Por uma razão análoga, [tex]d[/tex] não pode ser o dígito inicial de [tex]N[/tex], pois também seria o dígito inicial de [tex]M[/tex] (notemos que apenas os dígitos [tex]6[/tex] e [tex]4[/tex] de [tex]N[/tex] são transformados).

O dígito inicial de [tex]N[/tex] é, então, [tex]4[/tex].

  • Outra conclusão que podemos tirar é que [tex]6[/tex] não é o dígito final de [tex]N[/tex], pois [tex]6[/tex] transforma-se em [tex]3[/tex] e [tex]M[/tex] é par (o poema refere-se à “metade do que eu seria”).

Então, o último dígito é [tex]d[/tex] e [tex]d[/tex] é par ([tex]0[/tex], [tex]2[/tex], [tex]4[/tex], [tex]6[/tex] ou [tex]8[/tex]).

  • Assim, as representações dos números [tex]N~[/tex] e [tex]~M[/tex] no sistema decimal são [tex]\boxed{N=46d\,}~[/tex] e [tex]~\boxed{M=93d\,}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{N=460+d\,}~[/tex] e [tex]~\boxed{M=930+d\,}.[/tex]

Finalmente, como o poema diz que “aquilo que sou ([tex]N[/tex]) apenas valeria menos um de metade do que eu seria ([tex]M[/tex])”, temos:
[tex]\qquad\qquad N = \dfrac{M}{2}-1[/tex]
[tex]\qquad\qquad 460+d=\dfrac{930 + d}{2}-1[/tex]
[tex]\qquad \qquad 2 \times(460+d)=930 + d-2[/tex]
[tex]\qquad \qquad 920+2d=928 + d[/tex]
[tex]\qquad \qquad d=8[/tex]
e, portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ N=468$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão do problema o Clube Matemática na área.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-outro-poeminha-matematico/