.Problema: O próximo quadrado perfeito de uma P.A.

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Podemos observar que na progressão aritmética

$(2,49, 96, 143, \cdots)$ , cujo primeiro termo é

$2$ e a razão é

$47$ , o segundo termo é um quadrado perfeito (

$7^2=49$ ).
Encontre o próximo termo dessa progressão aritmética que também é um quadrado perfeito.

Solução

Os termos $(a_1,a_2,\cdots)$ da progressão $(2,49, 96, 143, \cdots)$ são definidos pela expressão $\boxed{a_n=2+(n-1)47}\,.$
Depois do $49=7^2$ , o próximo quadrado perfeito será o quadrado de um número maior que $7$ , ou seja, um número da forma $7+k$ , com $k \in \mathbb{N}^*$ . Assim, o próximo quadrado perfeito nesta P.A será da forma $(7+k)^2$ , com $k \in \mathbb{N}^*$ .
Suponhamos que $(7+k)^2$ ocupe a posição $m$ na P. A.; assim, segue que:
$\qquad a_m=(7+k)^2\\ \qquad 2+(m-1)47=7^2+14k+k^2\\ \qquad 2+(m-1)47=49+k(14+k)\\ \qquad (m-1)47=47+k(14+k)\\ \qquad \dfrac{(m-1)47}{47}=\dfrac{47+k(14+k)}{47}\\ \qquad m-1=1+\dfrac{k(14+k)}{47}\\ \qquad m-2=\dfrac{k(14+k)}{47}\,.\\$
Observe que temos $\underbrace{m-2}_{inteiro}=\dfrac{k(14+k)}{47}$ , ou seja, $\dfrac{k(14+k)}{47}$ é inteiro; na verdade natural, já que $k$ é natural. Portanto, temos que escolher $k$ de forma que $\dfrac{k(14+k)}{47}$ seja o menor natural possível.

Para que $\dfrac{k(14+k)}{47}$ seja um número natural, $47$ deve ser um divisor de $k(14+k)$ . Como $47$ é primo, então $47$ deve ser um divisor de $k$ ou de $14+k$ , ou seja, $k$ ou $14+k$ devem ser múltiplos de $47$ . Isso nos leva às seguintes possibilidades:

$\rhd$ Quando $k$ for múltiplo de $47$ podemos ter:
$\qquad k=47, \ \ \ k=2\cdot 47, \ \ \ k=3 \cdot 47, \ \ \ \cdots\,.$
$\rhd$ Quando $14+k$ for múltiplo de $47$ podemos ter:
$\qquad 14+k=47, \ \ \ 14+k=2\cdot 47, \ \ \ 14+k=3 \cdot 47, \ \ \ \cdots\,,$
donde:
$\qquad k=33, \ \ \ k=80, \ \ \ k=127, \ \ \ \cdots\,.$

Mas $k$ deve ser o menor natural possível; logo, a escolha que fornece o próximo termo da P.A. é $\,\boxed{k=33}\,.$

Com esta escolha, obtemos
$\qquad m-2=\dfrac{33\cancel{(14+33)}}{\cancel{47}}=33$ ,
ou seja, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=33+2=35$}\,.$
Assim, o segundo quadrado perfeito da P.A. ocupa a trigésima quinta posição e, agora, pode ser facilmente calculado:
$\qquad a_{35}=2+(m-1)47=2+34\cdot47= \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1600$}=40^2.$

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