Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um torneio de tênis foi disputado por [tex]\,n\,[/tex] rapazes e [tex]\,2n\,[/tex] moças. Cada tenista jogou exatamente uma partida contra cada um dos outros tenistas.
Se, ao final, [tex]10\%[/tex] das partidas ocorreram entre rapazes, determine o valor de [tex]\,n.[/tex]
Solução 1
Como [tex]10\%[/tex] das partidas ocorreram entre rapazes, então:
[tex]\quad \quad \quad \boxed{C_{n\, , \,2} = \dfrac{10}{100} \cdot C_{3n\, , \,2}}\;[/tex],
já que [tex]\boxed{C_{n\, , \,2}}\, [/tex] é o número de partidas disputadas entre rapazes e [tex]\,\boxed{ C_{3n\, , \,2}} \,[/tex] é o total de partidas disputadas no torneio.
Assim, segue que:
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{n!}{2! \cdot (n-2)!} =\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{(3n)!}{2! \cdot (3n -2)!}\\
\quad \quad \quad \dfrac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = \dfrac{(3n)!}{10 \cdot 2! \cdot (3n -2)!}\\
\quad \quad \quad \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} = \dfrac{(3n)\cdot(3n-1)}{20}\\
\quad \quad \quad 10n^2 – 10n = 9n^2 – 3n\\
\quad \quad \quad n^2 – 7n = 0\\
\quad \quad \quad n \cdot (n – 7) = 0.[/tex]
Finalmente, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n = 7$}\,[/tex], já que [tex]n[/tex] é um inteiro positivo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
No total, temos [tex]3n[/tex] pessoas e [tex]\dfrac{3n(3n-1)}{2}=\dfrac{9n^2-3n}{2}[/tex] partidas, pois cada jogador jogou contra cada um dos outros jogadores uma vez e se [tex]a[/tex] joga contra [tex]b[/tex] é o mesmo que [tex]b[/tex] joga contra [tex]a[/tex]; por isso dividimos por dois.
Como temos [tex]n[/tex] rapazes, eles jogaram entre si [tex]\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n^2-n}{2}[/tex] partidas.
Com essas informações montamos a seguinte regra de três:
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{9n^2-3n}{2} \qquad ——————\qquad[/tex] [tex]100 \%[/tex]
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{n^2-n}{2}\qquad \quad ——————\qquad[/tex] [tex]10 \%[/tex]
e, assim,
[tex]\quad \quad \quad 50n^2-50n=45n^2-15n[/tex]
[tex]\quad \quad \quad 5n^2=35n[/tex].
Dividindo os dois lados da última igualdade por [tex]5n[/tex], obtemos [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=7$}\,[/tex].
Solução elaborada pelo COM “Parentesco Genial”.
Participou da discussão o Clube “Parentesco Genial”.