.Probleminha: Notação Científica

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(UFRGS-2010– Adaptado) Notação científica é como é chamada a técnica de escrever números reais muito pequenos ou muito grandes utilizando-se potências de base dez.
A forma com que escrevemos um número na notação científica é:

$\qquad \qquad a \cdot 10^n$, com $1\leq |a| \lt 10 \,$ e $n$ um número inteiro.

Nessa notação, $a$ é chamado de mantissa, ou coeficiente, e $n$ é chamado de expoente, ou ordem de grandeza do número em questão.

A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente $38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}$ quilômetros. Qual a notação científica desse número?

Solução

Para resolver este problema, vamos relembrar algumas propriedades da potenciação:
$\textcolor{#800000}{(i)} \, \, a^{b+c}=a^b\cdot a^c$
$\textcolor{#800000}{(ii)} \, \, (a^b)^c=a^{b\cdot c}$
$\textcolor{#800000}{(iii)} \, \, a^b\cdot c^b=(a\cdot c)^{b}$

Agora, vamos lá:

$\qquad \begin{align*}38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}&=38 \cdot (2^2)^5 \cdot 5^{12}\\ &\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=} 38 \cdot 2^{10} \cdot 5^{12}\\ & \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}38 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}\cdot 5^2\\ & =950 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}\\ &\stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=} 950 \cdot 10^{10}\\ & =9,5\cdot 10^2\cdot 10^{10}\\ & \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} \fbox{$9,5\cdot10^{12}$}. \end{align*}$.

Assim, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}=9,5\cdot10^{12}$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.