.Probleminha: Não se atrapalhe

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

---

Uma menina escreveu a palavra ATRAPALHA repetidamente, justapondo as letras conforme indicado abaixo:

ATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHA …

No entanto, cansada de repetir, parou de escrever na milésima letra.

Não se atrapalhe e determine:
(a) Em que letra ela parou de escrever?
(b) Quantas letras A ela escreveu?

Solução

---

(a) Perceba, inicialmente, que a palavra "ATRAPALHA" possui nove letras.
Ao dividirmos $1000$ por $9$, obtemos $111$ como quociente e $1$ como resto.
$\qquad \qquad \begin{array}{r} 1000 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 9 \, \, \, \, \\ \hline \end{array}$
$\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 1 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, 111 \end{array}$
Isso indica que foram escritas $111$ palavras "ATRAPALHA" completas e o primeiro A da palavra número $112$. Logo, a última letra escrita foi $\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$A$}$.

$\underbrace{\textcolor{red}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}\textcolor{blue}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}} \, \cdots \, \textcolor{green}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}\textcolor{#800000}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}}_{111 \text{ grupos}}\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$A$}$

(b) Na palavra "ATRAPALHA" há quatro letras A. Como essa palavra foi escrita $111$ vezes e, depois, ainda foi escrita mais uma letra A, no total foram escritas $\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$111 \times 4 + 1 = 445$}$ letras A.

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.