Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Uma menina escreveu a palavra ATRAPALHA repetidamente, justapondo as letras conforme indicado abaixo:
ATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHA …
No entanto, cansada de repetir, parou de escrever na milésima letra.
Não se atrapalhe e determine:
(a) Em que letra ela parou de escrever?
(b) Quantas letras A ela escreveu?
Solução
(a) Perceba, inicialmente, que a palavra "ATRAPALHA" possui nove letras.
Ao dividirmos [tex]1000[/tex] por [tex]9[/tex], obtemos [tex]111[/tex] como quociente e [tex]1[/tex] como resto.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
1000 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 9 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, \, \, 1
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, 111
\end{array}[/tex]
Isso indica que foram escritas [tex]111[/tex] palavras "ATRAPALHA" completas e o primeiro A da palavra número [tex]112[/tex]. Logo, a última letra escrita foi [tex]\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$A$}[/tex].
[tex]\underbrace{\textcolor{red}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}\textcolor{blue}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}} \, \cdots \, \textcolor{green}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}\textcolor{#800000}{\underbrace{ATRAPALHA}_{9\text{ letras}}}}_{111 \text{ grupos}}\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$A$}[/tex]
(b) Na palavra "ATRAPALHA" há quatro letras A. Como essa palavra foi escrita [tex]111[/tex] vezes e, depois, ainda foi escrita mais uma letra A, no total foram escritas [tex]\fcolorbox{black}{#FFE4B5}{$111 \times 4 + 1 = 445$}[/tex] letras A.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.