.Probleminha: Média e Mediana

Problema

---

Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado [tex]1,72[/tex] m e [tex]1,70[/tex] m, respectivamente.
Qual a média entre a altura do mais alto e do mais baixo, em metros?

Solução 1

---

Sejam [tex]a\leq b\leq c\leq d[/tex] as alturas dos quatro amigos.
Deste modo, a média das alturas é dada por
[tex]\qquad \dfrac{a+b+c+d}{4}=1,72[/tex],
enquanto que a mediana é dada por
[tex]\qquad \dfrac{b+c}{2}=1,70[/tex].
Dessa forma, [tex]b+c=3,40 \, [/tex] e [tex] \, a+b+c+d=6,88[/tex].
Assim,
[tex]\qquad a+d=6,88-3,40=3,48[/tex]
e a média das alturas do mais alto e do mais baixo é
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{a+d}{2}=1,74 \, m}[/tex].

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

---

Considere [tex]x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4[/tex] as medidas das alturas dos meninos.
Assim:
[tex]\qquad \dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=1,72 \qquad \qquad (i)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{x_2 + x_3}{2}=1,70[/tex]
ou seja, a média é [tex]1,72[/tex] e a mediana é [tex]1,70[/tex].
Dessa forma,
[tex]\qquad x_2 + x_3=1,70\times 2[/tex]
[tex]\qquad x_2 + x_3=3,40 \qquad \qquad (ii)[/tex]
e, substituindo [tex](ii)[/tex] em [tex](i)[/tex], temos
[tex]\qquad x_1 + 3,40 + x_4=1,72\times 4[/tex]
[tex]\qquad x_1+x_4 = 6,88-3,40[/tex]
[tex]\qquad x_1+x_4 =3,48[/tex].
Encontrando a média de ambos, teremos
[tex]\qquad \dfrac{x_1+x_4}{2} = \dfrac{3,48}{2}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{x_1+x_4}{2} = 1,74[/tex]
logo, a média da altura do mais alto e do mais baixo, em metros, é [tex]1,74 \, m[/tex].

---

Solução elaborada pelo COM Matemáticos do Érico, com contribuições dos Moderadores do Blog.