.Probleminha: Letras iguais, algarismos iguais

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Na adição de três números naturais representada abaixo, cada um com três algarismos, letras iguais correspondem a algarismos iguais.

\begin{equation}
+\begin{array}{r}
a\;b\;c \\
a\;b\;c \\
a\;b\;c \\
\hline
2\;c\;4\;4
\end{array}
\end{equation}

Calcule o valor do produto [tex]a\cdot b\cdot c[/tex].

Solução 1

Para a solução do problema vamos começar analisando os algarismos das unidades das três parcelas da adição.

  • Notemos que a única possibilidade para [tex]c[/tex] é [tex]c=8[/tex], pois devemos ter [tex]3\cdot c[/tex] com unidade [tex]4[/tex]. Assim,

    • \begin{equation}
    +\begin{array}{r}
    \;\;\;2\;\;\;\\
    \;\;a\; b\;8 \\
    \;\;a\;b\;8 \\
    \;\;a\;b\;8 \\
    \hline
    2\;8\;4\;4
    \end{array}
    \end{equation}

  • Agora, para a soma [tex]3\cdot b+2[/tex] devemos obter um resultado cujo algarismo da unidade seja [tex]4[/tex]; logo, temos que [tex]b=4[/tex], então

    • \begin{equation}
    +\begin{array}{r}
    1\;2\;\;\;\\
    \;\;a\; 4\;8 \\
    \;\;a\;4\;8 \\
    \;\;a\;4\;8 \\
    \hline
    2\;8\;4\;4
    \end{array}
    \end{equation}

  • Por fim, para que [tex]3\cdot a+1[/tex] seja igual [tex]28[/tex] devemos ter [tex]a=9[/tex], ou seja,

    • \begin{equation}
    +\begin{array}{r}
    1\;2\;\;\;\\
    \;\;9\; 4\;8 \\
    \;\;9\;4\;8 \\
    \;\;9\;4\;8 \\
    \hline
    2\;8\;4\;4
    \end{array}
    \end{equation}

Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a\cdot b\cdot c=9\cdot 4\cdot 8=288$}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Para a solução do problema vamos começar analisando os algarismos das unidades das três parcelas da adição. Notemos que a única possibilidade para [tex]c[/tex] é [tex]c=8[/tex], pois devemos ter [tex]3⋅c[/tex] com unidade [tex]4[/tex]. Assim,

Como [tex]2844[/tex] é escrito como soma de três parcelas iguais a [tex]ab8[/tex], temos que [tex]2844=3\cdot (ab8)[/tex]. Logo, divindo [tex]2844[/tex] por [tex]3[/tex] obtemos [tex]948[/tex], ou seja, [tex]a=9[/tex] e [tex]b=4[/tex].

Com isso, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a\cdot b\cdot c=9\cdot 4\cdot 8=288$}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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