Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Qual é o número inteiro mais próximo da fração [tex]\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}[/tex]?
Ajuda
Quando dizemos que [tex]A=B[/tex] é claro que [tex]B=A[/tex]. Mas certas igualdades quando escritas como [tex]A=B[/tex] podem receber nomes diferentes dos nomes que receberiam se escritas como [tex]B=A[/tex].
A ajuda para resolver este problema é um exemplo dessa situação.
Se [tex]a[/tex] , [tex]b \, [/tex] e [tex] \, c[/tex] são números reais,
- a igualdade [tex]\boxed{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}[/tex] é conhecida como propriedade distributiva ou distributividade da multiplicação com relação à adição. Afinal, o que estamos fazendo da esquerda para a direita é exatamente distribuir o número [tex]a[/tex] nas duas parcelas da soma [tex]b+c[/tex], não é?
- no entanto, a igualdade [tex]\boxed{a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)}[/tex] é referida como uma fatoração ou podemos também dizer que colocamos o número [tex]a[/tex] em evidência, pois quando evidenciamos o [tex]a[/tex] como um fator de cada parcela da soma [tex]a\cdot b+a\cdot c[/tex] demos a ele um destaque e o colocamos em evidência. O nome fatoração é utilizado em função de transformarmos a soma de duas parcelas [tex]a\cdot b[/tex] e [tex]a\cdot c[/tex] no produto de dois fatores [tex]a[/tex] e [tex]b+c.[/tex]
Solução
Vamos fazer uma fatoração no numerador da fração dada no problema, visando uma possível simplificação:
[tex]\begin{align*}\qquad \dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}&=\dfrac{10^{2000}+10^{2000}\cdot 10^{2}}{2\cdot 10^{2001}} \\
\\
&=\dfrac{10^{2000}(1+100)}{2\cdot 10^{2000}\cdot 10^1} \\
\\
&= \dfrac{10^{2000}(1+100)}{10^{2000}\cdot 2\cdot 10}\\
\\
&= \dfrac{\cancel{10^{2000}}(1+100)}{\cancel{10^{2000}}\cdot 2\cdot 10}\\
\\
&= \dfrac{1+100}{2\cdot 10}\\
\\
&=\dfrac{101}{20}.\end{align*}[/tex]
Como [tex]\dfrac{101}{20}=5,05[/tex], o inteiro mais próximo da fração dada é [tex]5[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.