.Probleminha: Estrela pentagonal

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

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A Estrela de Cinco Pontas, também denominada Estrela Pentagonal ou Pentagrama, é de origem Pitagórica e pode ser construída com seus vértices sobre um pentágono regular, como indica a figura abaixo. Sendo assim, determine a soma dos ângulos em destaque.

Solução 1

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Pela propriedade da soma dos ângulos internos, se S for a soma dos ângulos internos do pentágono, então cada ângulo interno de um pentágono regular mede
             m = S / n = [(n−2)180°] / n = [(5−2)180°] / 5 = 108°.
Em cada ponta, cada ângulo a_i , i = 1, 2, … , 10, é suplementar com relação a um dos ângulos internos do pentágono regular interno à estrela, logo todos esses ângulos são congruentes e medem, respectivamente, m_i = 180° −108° = 72°, para i = 1, 2, … , 10.

Com isso, os ângulos agudos formados pelas pontas medirão 180° −2 × 72° = 36°.
Agora, só multiplicamos essa medida pela quantidade de ângulos agudos de 36° formados, que seria 5 × 36° = 180° .

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Solução elaborada pelo COM Fermatianos, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Solução 2

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Por conveniência, identificaremos os ângulos indicados em verde por $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$ e $\hat{E}\,.$
Observe, na figura abaixo, que os ângulos $B\hat{K}L$ e $K\hat{L}B$ são externos aos triângulos $\triangle EKC$ e $\triangle ALD$, respectivamente. Sendo assim, temos que $B\hat{K}L=\hat{E}+\hat{C}$ e $K\hat{L}B=\hat{D}+\hat{A}$, pelo Teorema do Ângulo Externo (*).
Logo,
$\quad \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}+\hat{E}=(\hat{E}+\hat{C})+(\hat{A}+\hat{D})+\hat{B}=B\hat{K}L+K\hat{L}B+\hat{B}=180^{\circ}$,
já que $B\hat{K}L\,$ , $\,K\hat{L}B\,$ e $\,\hat{B}\,$ são ângulos internos do triângulo $\triangle KLB$.

(*) Você pode encontrar o teorema do ângulo externo AQUI.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 3

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Duas observações iniciais:

• Se $a_i$ for a medida, em graus, de cada ângulo interno de um pentágono regular e se $S_i$ for a soma dos ângulos internos do pentágono, então $a_i=108^{\circ}$, uma vez que $a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.
• Os triângulos $ABE\, ,\, BCA \, ,\, CDB \, , \, DEC \, , \, EAD\,$ têm dois lados congruentes (lados do pentágono regular inicial), então eles são isósceles e seus dois ângulos de base respectivos medem $\dfrac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$.

Para cada ponta fixada da estrela, seja a_e  a medida em graus de cada um dos chamados ângulos externos do pentágono interno à estrela (todos têm a mesma medida). Observe que trata-se de um ângulo externo a um triângulo isósceles com ângulos da base medindo 36°, assim, pelo Teorema do Ângulo Externo (*), $a_e = 36^{\circ} + 36^{\circ}$, ou seja, $a_e = 72^{\circ}$.

Como $a_e=72^{\circ}$, então cada ângulo formado pelas pontas da estrela medirá $180^{\circ}-2 \times 72^{\circ} = 36^{\circ}$.
Assim, a soma a ser determinada é dada por $5 \times 36^{\circ}= 180^{\circ}$; ou seja, a soma das medidas dos ângulos em destaque verde será igual a $180^{\circ}$.

(*) Você pode encontrar o teorema do ângulo externo AQUI.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 4

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Unindo as pontas do Pentagrama, obtemos um pentágono regular onde cada ângulo interno $(a_i)$ mede $108^o$.
$\qquad a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$
sendo $S_i$ a soma dos ângulos internos do pentágono.
O mesmo acontece com o pentágono regular no interior do pentagrama.
O Pentagrama é formado pelo pentágono regular e cinco triângulos isósceles cujas bases são os lados do pentágono interno. Desse modo, os ângulos relativos à base desses triângulos correspondem ao ângulo externo do pentágono interno, ou seja, os ângulos das bases desses triângulos medem $72^o$.
Indicando a medida de cada um dos ângulos em verde por $x$ temos que $72^{\circ}+ 72^{\circ} + x = 180^{\circ}$ e, assim, $x=36^{\circ}$.
Portanto, a soma dos ângulos em verde é $5 \times 36^{\circ} = 180^{\circ}$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 5

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Nesta solução, denotaremos os ângulos indicados em verde por $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$ e $\hat{E}$ e suas respectivas medidas, em graus, por $a , b, c, d, e$.
Observamos, inicialmente, que se $a_i$ for a medida, em graus, de cada ângulo interno de um pentágono regular e se $S_i$ for a soma dos ângulos internos do pentágono, então $a_i=108^{\circ}$, uma vez que
$\quad a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.
Por outro lado, os triângulos $ABE\, ,\, BCA \, ,\, CDB \, , \, DEC \, , \, EAD$ têm dois lados congruentes (lados do pentágono regular inicial), então eles são isósceles e seus dois ângulos de base respectivos medem $\dfrac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$.

Assim, os ângulos $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$ e $\hat{E}$ têm a mesma medida e
       $a = b = c = d = e =108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$.
Portanto, a soma das medidas dos ângulos agudos em destaque será igual a
       $a + b + c + d + e =5 \times 36^{\circ}=180^{\circ}.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.