Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Um navio de cruzeiro partiu em viagem e, quando está a 180 milhas da costa, um hidroavião, cuja velocidade é dez vezes a do navio, parte em sua direção para deixar um passageiro ilustre que perdeu a partida. Supondo as duas trajetórias retilíneas e as velocidades constantes, a que distância da costa será o encontro do navio com o hidroavião?
Justifique sua resposta.
Solução 1
Vamos supor que, inicialmente, o hidroavião esteja em um ponto de abscissa [tex]0[/tex] e o navio em um ponto de abscissa [tex]180[/tex].
Imagens do hidroavião e do navio extraídas de Freepik.com
Então, as equações horárias das abscissas do hidroavião e do navio, em função do tempo, no SI (Sistema Internacional de Medidas) são:
[tex]\qquad \boxed{N(t) = 180 + v_n t}[/tex],
sendo [tex]v_n[/tex] a velocidade do navio e [tex]N(t)[/tex] a posição do navio no instante [tex]t[/tex];
[tex]\qquad \boxed{A(t) = 0 +v_a t=v_a t}[/tex],
sendo [tex]v_a[/tex] a velocidade do hidroavião e [tex]A(t)[/tex] a posição do hidroavião no instante [tex]t[/tex].
Mas sabemos que [tex]v_a=10 v_n[/tex], logo:
[tex]\qquad \boxed{A(t) = 10 v_n t}[/tex].
Precisamos determinar o tempo em que o hidroavião alcançará o navio, pois neste instante eles estarão juntos para o embarque do passageiro no navio e, consequentemente, terão a mesma abscissa.
Segue, então, que:
[tex]\quad \quad A(t)=N(t)[/tex]
[tex]\quad \quad 10 v_n t = 180 + v_n t[/tex]
[tex]\quad \quad 10 v_n t-v_n t = 180[/tex]
[tex]\quad \quad 9 v_n t = 180[/tex]
[tex]\quad \quad v_n t = \dfrac{180}{9}[/tex]
[tex]\quad \quad \boxed{v_n t = 20}[/tex].
Para obter a distância que o hidroavião percorreu para alcançar o navio, vamos substituir [tex]\boxed{v_n t = 20}[/tex] na equação horária do hidroavião:
[tex]\qquad A(t) = 10 v_n t [/tex]
[tex]\quad \quad A(t) = 10 . 20[/tex]
[tex]\quad \quad A(t) = 200[/tex] milhas.
Portanto, o hidroavião e o navio se encontrarão a 200 milhas da costa.
Solução elaborada pelo Clube MIRIM APRENDIZ, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Se o navio navega com uma velocidade constante [tex]V[/tex], o hidroavião se desloca com velocidade [tex]10V[/tex]. Então, a velocidade relativa do hidroavião em relação à do navio é [tex]9V[/tex], já que os dois percorrem a trajetória no mesmo sentido.
Como a distância entre eles, inicialmente, é de [tex]180[/tex] milhas, temos que o tempo para o hidroavião alcançar o navio será [tex]t = \dfrac{180}{9V}[/tex].
Dessa forma, a distância percorrida pelo navio, após a partida do hidroavião, pode ser assim calculada:
[tex]\quad \quad V \cdot t = V \cdot \dfrac{180}{9V} = 20[/tex] milhas.
Logo, o navio e o hidroavião se encontrarão a [tex]180 + 20 = 200[/tex] milhas da costa.
Solução elaborada pelo Clube Fernandes Lima Alagoas.