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.Probleminha: Encontrando o algarismo das unidades

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Encontre o algarismo das unidades do número 777333.

Adaptado: UFRGS – 2015.

Solução


Observe que
\qquad \qquad \begin{equation} \begin{split} 3^1 &= \textcolor{blue}{3}\\ 3^2 &= \textcolor{red}{9}\\ 3^3 &= 2\textcolor{orange}{7}\\ 3^4 &= 8\textcolor{green}{1}\\ 3^5 &= 24\textcolor{blue}{3}\\ 3^6 &= 72\textcolor{red}{9}\\ \vdots \end{split} \end{equation}\\ \,
e perceba que as potências cujos expoentes são múltiplos de 4 possuem algarismo das unidades igual a 1. Como 32 = 4\times 8, então o algarismo das unidades de 3^{32} é 1. Portanto, 3^{33} tem o último algarismo igual a 3, já que 3^{33}=3^{32}\times 3\,.
Agora, veja que
\qquad \qquad \begin{equation} \begin{split} 7^1 &= \textcolor{blue}{7}\\ 7^2 &= 4\textcolor{red}{9}\\ 7^3 &= 34\textcolor{orange}{3}\\ 7^4 &= 2\;40\textcolor{green}{1}\\ 7^5 &= 16\;80\textcolor{blue}{7}\\ 7^6 &= 117\;64\textcolor{red}{9}\\ \vdots \end{split} \end{equation}\\ \,
De maneira análoga, podemos ver que as potências cujos expoentes são múltiplos de 4 possuem algarismo das unidades igual a 1. Como 76 = 4\times 19, então o algarismo das unidades de 7^{76} é 1 e portanto, 7^{77} tem o último algarismo igual a 7, pois 7^{77}=7^{76} \times 7\,.
Logo, o algarismo das unidades de 7^{77}-3^{33} é \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7-3 = 4$}\,.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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