.Probleminha: Encontrando o algarismo das unidades

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Encontre o algarismo das unidades do número

$7^{77}-3^{33}$ .

Adaptado: UFRGS – 2015.

Solução

Observe que

$\qquad \qquad \begin{equation} \begin{split} 3^1 &= \textcolor{blue}{3}\\ 3^2 &= \textcolor{red}{9}\\ 3^3 &= 2\textcolor{orange}{7}\\ 3^4 &= 8\textcolor{green}{1}\\ 3^5 &= 24\textcolor{blue}{3}\\ 3^6 &= 72\textcolor{red}{9}\\ \vdots \end{split} \end{equation}\\ \,$
e perceba que as potências cujos expoentes são múltiplos de

$4$ possuem algarismo das unidades igual a

$1$ . Como

$32 = 4\times 8$ , então o algarismo das unidades de

$3^{32}$ é

$1$ . Portanto,

$3^{33}$ tem o último algarismo igual a

$3$ , já que

$3^{33}=3^{32}\times 3\,.$
Agora, veja que

$\qquad \qquad \begin{equation} \begin{split} 7^1 &= \textcolor{blue}{7}\\ 7^2 &= 4\textcolor{red}{9}\\ 7^3 &= 34\textcolor{orange}{3}\\ 7^4 &= 2\;40\textcolor{green}{1}\\ 7^5 &= 16\;80\textcolor{blue}{7}\\ 7^6 &= 117\;64\textcolor{red}{9}\\ \vdots \end{split} \end{equation}\\ \,$
De maneira análoga, podemos ver que as potências cujos expoentes são múltiplos de

$4$ possuem algarismo das unidades igual a

$1$ . Como

$76 = 4\times 19$ , então o algarismo das unidades de

$7^{76}$ é

$1$ e portanto,

$7^{77}$ tem o último algarismo igual a

$7$ , pois

$7^{77}=7^{76} \times 7\,.$
Logo, o algarismo das unidades de

$7^{77}-3^{33}$ é

$\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7-3 = 4$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.