.Probleminha: Encomendas

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Amélia é uma excelente confeiteira e recebeu uma encomenda de [tex] 600[/tex] docinhos. Desses docinhos são [tex]300[/tex] brigadeiros, [tex]120[/tex] beijinhos, [tex]120[/tex] cajuzinhos e [tex]60[/tex] bichos de pé. O cliente de Amélia solicitou que os docinhos fossem colocados em caixas de tamanhos iguais, de maneira que em cada caixa tivesse apenas um tipo de docinho, com a mesma quantidade e a maior possível.
Sabendo que o cento de cada docinho custa [tex]R\$\;95,00[/tex] e que cada caixa custa [tex]R\$\;2,50[/tex], quanto recebeu Amélia por essa encomenda?

Solução

Primeiro, como a encomenda era de [tex]600[/tex] docinhos, temos um total de [tex]6[/tex] centos. Como cada cento custa [tex]95,00[/tex] reais, temos um custo inicial de [tex]\boxed {95,00\cdot 6=570,00 \text{ reais}}.[/tex]
Agora, vamos calcular a quantidade de caixas.
Sabemos que em cada caixa deve ter apenas um tipo de docinho e a quantidade de docinhos deve ser igual e a maior possível em todas as caixas. Assim, devemos calcular o máximo divisor comum entre [tex]300[/tex], [tex]120[/tex], [tex]120[/tex] e [tex]60[/tex], ou seja, o [tex]mdc(300,120,120,60)[/tex]. Para isso, vamos escrever a fatoração em números primos de cada um desses números:
[tex]\qquad 300=2^2\cdot 3\cdot 5^2[/tex];
[tex]\qquad 120=2^3\cdot 3 \cdot 5[/tex];
[tex]\qquad 120=2^3\cdot 3 \cdot 5[/tex];
[tex]\qquad\,\, 60=2^2\cdot 3 \cdot 5[/tex].

Para calcular o [tex]mdc(300,120,120,60)[/tex] devemos olhar simultaneamente para as fatorações de [tex]300, 120, 120, 60[/tex] e tomar os números primos que aparecerem em todas elas, mas considerando a menor potência. Logo, \begin{equation}
mdc(300,120,120,60)=2^2\cdot 3\cdot 5=60. \end{equation}Dessa forma, serão utilizadas:

• [tex]\frac{300}{60}=5[/tex] caixas para os brigadeiros,
• [tex]\frac{120}{60}=2[/tex] caixas para os beijinhos,
• [tex]\frac{120}{60}=2[/tex] caixas para os cajuzinhos e
• [tex]\frac{60}{60}=1[/tex] caixa para os bichos de pé,

o que resulta em um total de [tex]5+2+2+1=10[/tex] caixas.
Como cada caixa custa [tex]R\$\;2,50[/tex], temos um custo adicional de [tex]\boxed{10\cdot 2,50=25,00 \text{ reais}}[/tex] com as caixas.
Portanto, Amélia recebeu [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$570,00+25,00=595,00 \text{ reais}$}[/tex] pela encomenda.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.