.Probleminha: DOIS vezes DOIS

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E.F.)

Cada uma das letras $D$, $O$, $I$, $S$, na multiplicação indicada abaixo, representa um algarismo diferente:

$\begin{array}{cccccccc} &&&&D&O&I&S\\ &&&\times&D&O&I&S\\ \hline &&&\ast&\ast&\ast&\ast&D\\ &&\ast&\ast&\ast&\ast&O&\\ &\ast&\ast&\ast&\ast&I&&\\ \ast&\ast&\ast&\ast&S&&&\\ \hline \ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\ \end{array}$

Encontre a soma $\boxed{D+O+I+S} \, .$

Solução

• Como $S\times S=S^2$ termina em $D \,$ e $\, D \times S$ termina em $S$, concluímos que $S^3$ termina em $S$.
  Logo, $S$ pode ser $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ ou $9$.
• Se $S$ fosse $0$, $1$, $5$ ou $6$ teríamos $D=S$.
  Portanto, $S=4$ ou $S=9$.
• Se $S=9$, teríamos $D=1$, o que não pode acontecer, pois a última multiplicação apresenta cinco algarismos e não quatro.
  Daí, concluímos que $S=4 \,$ e $\, D=6.$

Agora, como $I$ x $S$ termina em $O$, concluímos que $O$ é par, pois $S$ é par. Da mesma maneira $I$ é par, pois $O$ x $S$ termina em $I$. E nenhum deles ($I$ ou $O$) pode ser zero, pois se um deles for o outro também será. Como as letras representam algarismos diferentes, $S=4$ e $D=6$, teremos duas opções: "$O=2$ e $I=8$" ou "$O=8$ e $I=2$".
Portanto, o número $DOIS$ pode ser $6284$ ou $6824$.

C O N F I R A , fazendo os cálculos!

Consequentemente, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D+O+I+S=20$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.