Problema
Dois números naturais diferentes são tais que
- a soma deles é [tex]105 \, [/tex];
- o MDC deles é [tex]15 \, [/tex];
- um é múltiplo do outro.
Nestas condições, quais são os dois números?
Solução 1
(Indicada a partir do 8º ano do E. F.)
Como os dois números em questão são distintos e o [tex] MDC[/tex] entre eles é [tex]15[/tex], podemos escrevê-los como [tex]15x[/tex] e [tex]15y[/tex] e considerar, sem perda de generalidade, que [tex]x\lt y[/tex].
Assim, sendo a soma deles [tex]105 \, [/tex], temos que [tex]15x+15y=105[/tex] ou ainda [tex] \boxed{x+y=7} \, .[/tex]
Temos, então, as seguintes opções para [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex], uma vez que os números procurados são naturais:
- [tex]x=1 \, , \, y=6[/tex]
- [tex]x=2 \, , \, y=5[/tex]
- [tex]x=3 \, , \, y=4.[/tex]
Mas observe que, se [tex]15y[/tex] é múltiplo de [tex]15x[/tex], então [tex]y[/tex] deve ser múltiplo de [tex]x[/tex]. E, das três opções, a única na qual [tex]y[/tex] é múltiplo de [tex]x[/tex] é a primeira.
Assim, os números solicitados no problema são [tex] \, \boxed{15x=15\times 1= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15$}} \, [/tex] e [tex]\boxed{15y=15 \times 6= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90$}} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 7º ano do E. F.)
Para resolver essa questão, chamaremos os números de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Considerando (sem perda de generalidade) que [tex]a[/tex] seja múltiplo de [tex]b[/tex], temos que [tex]a[/tex] deve ser divisível por [tex]b[/tex].
Como sabemos que [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex] e o [tex]mdc(a,b)=15[/tex], obrigatoriamente o menor desses números, no nosso caso [tex]b \, [/tex], é [tex]15[/tex].
Encontrado um dos números e sabendo que a soma dos dois é [tex]105 \, [/tex], fazemos [tex]105-15=90[/tex] e obtemos o segundo número.
Nessas condições, os dois números são [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelo Clube Deltonautas, com contribuições dos Moderadores do Blog.