.Probleminha: Divisão justa?

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)


Uma barra de chocolate PQRS de forma retangular e espessura constante será dividida em quatro pedaços por duas linhas retas, sendo que cada linha é paralela a dois lados opostos da barra, a partir de um ponto da diagonal PR como mostra a figura.

Depois de dividida a barra de chocolate, Eduardo e Diego escolheram, respectivamente, os pedaços A e B.

Qual dos dois pegou o pedaço maior?
Justifique sua resposta.

Solução


Os retângulos A e B têm a mesma área.
Com efeito, observe que:

  • a diagonal PR divide o retângulo PQRS em duas metades;
  • a mesma diagonal divide os retângulos brancos ao meio.

Assim, a região em branco acima da diagonal e a região em branco abaixo da diagonal possuem a mesma área e, portanto, os retângulos A e B têm áreas iguais.

    – Não conseguiu concluir essa igualdade de áreas?
    Então acompanhe os cálculos a seguir.

      Sejam [tex]a_A[/tex], [tex]a_B[/tex], [tex]a_C[/tex], [tex]a_D[/tex], [tex]a_E[/tex] e [tex]a_F[/tex], respectivamente, as áreas das regiões A, B, C, D, E e F  indicadas na figura abaixo.

      • A afirmação de que a diagonal PR divide o retângulo PQRS em duas metades nos garante que:
        [tex]\qquad a_A+a_D+a_F=a_B+a_C+a_E.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
      • Por outro lado, a afirmação de que a diagonal PR também divide os retângulos brancos ao meio nos garante que:
        [tex]\qquad a_E=a_F~[/tex] e [tex]~ a_C=a_D.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

      Agora, substituindo as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] no lado esquerdo da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
      [tex]\qquad a_A+a_D+a_F=a_B+a_C+a_E\\
      \qquad a_A+a_C+a_E=a_B+a_C+a_E\\
      \qquad a_A+\cancel{a_C}+a_E=a_B+\cancel{a_C}+a_E\\
      \qquad a_A+\bcancel{a_E}=a_B+\bcancel{a_E}\\
      \qquad \textcolor{#800000}{\boxed{a_A=a_B}}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Um applet para ilustrar


Você pode utilizar o aplicativo disponibilizado abaixo para visualizar a solução do problema e, principalmente, observar que a igualdade das áreas dos retângulos A e B independe da posição do ponto da diagonal a partir do qual a barra de chocolate foi dividida.

Bom proveito!!!



No applet abaixo, movimente o ponto D sobre a diagonal PR e observe que, para cada posição de D, você visualizará as áreas dos retângulos alaranjado e azul, que correspondem às regiões A e B da barra de chocolate do problema, e também os comprimentos dos respectivos lados desses retângulos.
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para movimentar o ponto D, clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto D e movimente-o.)


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Lembre-se de que o GeoGebra trabalha com arredondamentos e que
a visualização de várias situações particulares de um fato matemático não substitui sua demonstração.

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