Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(OBM 2005) Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?
Solução
Lembre-se de que um ano que não é bissexto tem [tex]365[/tex] dias e um ano bissexto tem [tex]366[/tex] dias e observe as seguintes divisões:
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[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 365 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, \, 7 \, \, \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 1 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 52 \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 366 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, \, 7 \, \, \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 2 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 52 \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
- Como [tex]365[/tex] dividido por [tex]7[/tex] dá quociente [tex]52[/tex] e resto [tex]1[/tex] e [tex]366[/tex] dividido por [tex]7[/tex] dá o mesmo quociente e resto [tex]2[/tex]; então um ano não bissexto tem “[tex]52[/tex] semanas completas e [tex]1[/tex] dia” e, um bissexto, “[tex]52[/tex] semanas completas e [tex]2[/tex] dias”. Assim,
- em um ano, bissexto ou não, há no máximo [tex]53[/tex] domingos.
Agora, observe as seguintes divisões:
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[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 28 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, \, 7 \, \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, 0 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 4 \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 31 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, \, 7 \, \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, 3 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 4 \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
- Como um mês tem entre [tex]28 = 4 \times 7\,[/tex] e [tex]\,31 = 4 \times 7+3[/tex] dias, então todo mês tem “[tex]4[/tex] semanas completas” e “[tex]0[/tex], [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex] dias”. Com isso concluímos que
- todo mês tem [tex]4[/tex] ou [tex]5[/tex] domingos.
Vamos, então, distribuir os [tex]53[/tex] domingos possíveis de um ano entre os seus [tex]12[/tex] meses:
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[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 53 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, \, 12 \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \, \, \, 5 \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, \, \, 4 \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
Como [tex]53[/tex] dividido por [tex]12[/tex] dá quociente [tex]4[/tex] e resto [tex]5[/tex], há no máximo [tex]5[/tex] meses com [tex]5[/tex] domingos em um ano.
Exemplos de anos com cinco meses com cinco domingos cada são aqueles iniciados no domingo, como os anos de [tex]2012[/tex], [tex]2017[/tex] e [tex]2022[/tex], entre outros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Todos pela Matemática.