Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Quais são os três algarismos escondidos nos quadradinhos?
[tex]\begin{array} {c c c c}
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$\textcolor{#FFFF00}{a} $}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\end{array}[/tex]
Adaptado de Números e operações – Marília Centurión, 1997.
Solução
Vamos iniciar a solução do problema procurando o algarismo escondido no quadradinho amarelo. Assim, precisamos determinar um algarismo que multiplicado por [tex]5[/tex] produza um produto cujo algarismo das unidades seja [tex]5.[/tex]
Observando a tabuada do [tex]5[/tex], vemos que os números pares quando multiplicados por [tex]5[/tex] resultam em um produto terminado em [tex]0[/tex] e que os números ímpares quando multiplicados por [tex]5[/tex], resultam num produto terminado em [tex]5[/tex]. Então, a princípio, temos cinco possibilidades para o quadradinho amarelo:
[tex]\qquad \qquad \begin{eqnarray*}
1 \times 5 & = & 5\\
3 \times 5 & = & 15\\
5 \times 5 & = & 25\\
7 \times 5 & = & 35\\
9 \times 5 & = & 45\\
\end{eqnarray*}[/tex]
Vamos ver, agora, quais desses cinco algarismos satisfazem as outras condições de nosso problema.
Perceba que o número escondido no quadradinho amarelo deve ser maior do que [tex]3[/tex], pois, caso contrário, o resultado da multiplicação indicada no problema seria menor que [tex]1000[/tex] e, portanto, um número com três algarismos e não quatro, como indicado. Logo, os possíveis algarismos que podem estar escondidos no quadradinho amarelo são [tex]5,\, 7[/tex] ou [tex]9[/tex]. Mas veja o que vai acontecer se o algarismo escondido pelo quadrinho amarelo for o [tex]5[/tex]:
[tex]\begin{array} {c c c c}
& & 2& \\
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$5$}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\end{array}[/tex]
Já sabemos que o produto de [tex]5[/tex] por um algarismo ou termina em [tex]0[/tex] ou termina em [tex]5[/tex]; assim, [tex]5[/tex] vezes o algarismo escondido pelo quadradinho vermelho resultaria em um produto que, somado com [tex]2[/tex], teria como algarismo das unidades [tex]2[/tex] ou [tex]7[/tex] e não [tex]4[/tex] como indicado. Portanto apenas o [tex]7[/tex] ou o [tex]9[/tex] podem estar escondidos no quadradinho amarelo.
[tex]\begin{array} {c c c c}
& & 3& \\
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$7$}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\end{array}[/tex][tex]\qquad \qquad \begin{array} {c c c c}
& & 4& \\
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$9$}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\end{array}[/tex]
- Faremos agora duas perguntas:
- Existe um algarismo que multiplicado por [tex]7[/tex] resulte em um produto cujo algarismo das unidades seja [tex]1[/tex], para somarmos [tex]1[/tex] com [tex]3[/tex] e obtermos o [tex]4[/tex] indicado na multiplicação apresentada no problema?
- Existe um algarismo que multiplicado por [tex]9[/tex] resulte em um produto cujo algarismo das unidades seja [tex]0[/tex], para somarmos [tex]0[/tex] com [tex]4[/tex] e obtermos o [tex]4[/tex] indicado na multiplicação apresentada no problema?
- A reposta é sim, para as duas perguntas.
Portanto, temos duas soluções para este problema, conforme mostram os esqueminhas abaixo.
[tex]\begin{array} {c c c c}
&2 & 3& \\
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$3 $}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$7$}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$6$}&4&5
\end{array}[/tex][tex]\qquad \qquad \begin{array} {c c c c}
& & 4& \\
&2&\fcolorbox{black}{#ff9797}{$0$}&5\\
&&\times &\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$9$}\\
\hline
1&\fcolorbox{black}{#55FF00}{$8 $}&4&5
\end{array}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.