.Probleminha: Algarismo da soma de quadrados

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Se somarmos os quadrados dos primeiros cem números inteiros positivos, qual será o algarismo das unidades desta soma?
E se fosse a soma dos quadrados dos primeiros cento e cinquenta números inteiros positivos, qual seria o algarismo das unidades?

Solução

Para tentar estabelecer um padrão, vamos listar os quadrados dos primeiros números inteiros positivos:

$\qquad 1^2=1;\quad 2^2= 4;\quad 3^2=9;\quad 4^2=16;\quad 5^2=25;\quad 6^2=36;\quad 7^2=49;\quad 8^2=64; \\ \qquad 9^2=81;\quad 10^2=100; \quad 11^2=12\textcolor{red}{1}; \quad 12^2=14\textcolor{red}{4};\quad 13^2=16\textcolor{red}{9}; \quad 14^2=19\textcolor{red}{6};\;…$
Dessa forma, percebemos que os algarismos das unidades seguem a sequência

$(1,4,9,6,5,6,9,4,1,0)$ , cuja soma dos números é

$\qquad 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0= 45$ .
Agora, observe que de

$1^2$ a

$100^2$ essa sequência de algarismos das unidades se repetirá

$\dfrac{100}{10}= 10$ vezes; assim, o algarismo das unidades da soma

$1^2+2^2+3^2+…+100^2\,$ será igual ao algarismo das unidades do produto

$10 × 45=450$ .
Portanto, a resposta é

$\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\,$ (zero).

Para $1^2+2^2+3^2+…+150^2$ usamos o mesmo raciocínio:
$\quad \quad \dfrac{150}{10}×45= 675$
e, portanto, a soma tem como algarismo das unidades o $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\,$ (cinco)!!!