.Probleminha: Adivinhe qual é o número!

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Emanuel pensou, em segredo, em um número $S$ de três dígitos distintos. Os colegas Amarildo, Bento, Carlos e Denis tentaram adivinhar, dizendo, respectivamente, $523, 648, 173$ e $629$.
Emanuel disse: “Todos os dígitos do número foram citados por vocês e cada um acertou exatamente um dígito de $S$. E, por coincidência, o dígito certo estava na posição certa.”
Qual é o número $S$?

Solução 1

Como Amarildo acertou exatamente um dígito de $S$ e o dígito certo está na posição certa, temos três casos a considerar:

$\textcolor{#800000}{(i)}$ O número $S$ é da forma $\boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, 5 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\ &^{\neq 2} &^{\neq 3} \end{array}}$. Vamos às análises:

• Denis falou o número $629$ e acertou um dígito. Neste caso, o dígito acertado não seria nenhum dos dois primeiros; assim, deve ser o $9$, ficando o número na forma:

$\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, 5 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 9 \, \, }\\ &^{\neq 2} & \end{array}}$.

• Como Bento falou o número $648$ e também acertou um dígito, este deve ser o $4$, e o número seria $\boxed{549}.$

Mas esta solução não é correta, pois neste caso Carlos não teria acertado um dígito.

$\textcolor{#800000}{(ii)}$ O número $S$ é da forma $\boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 2 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\ ^{\neq 5}& &^{\neq 3} \end{array}}$. Vamos às análises:

• Veja que Carlos acertou um dígito e este não foi nenhum dos dois últimos. Assim, deve ser o $1$, ficando o número na forma:

$\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, 1 \, \, }&\underline{ \, \, 2 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\ & &^{\neq 3} \end{array}}$.

• Como Bento também acertou um dígito, este deve ser o $8$ e o número seria $\boxed{128}.$

Esta solução é correta (note que Denis acertou o dígito $2$).

$\textcolor{#800000}{(iii)}$ O número $S$ é da forma $\boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\ ^{\neq 5}&^{\neq 2} & \end{array}}$.

• Veja que Denis acertou um dígito e este não foi nenhum dos dois últimos. Assim, deve ser o $6$, ficando o número na forma:

$\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c} \underline{ \, \, 6 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\ &^{\neq 2} & \end{array}}$

• Como todos os algarismos de $S$ foram citados pelos amigos, o dígito das dezenas deve ser $5$, $4$, $8$, $1$, $7$ ou $9$.

Em qualquer destes casos, porém, um dos amigos teria acertado dois dígitos de $S$, o que contradiz o enunciado.

Conclusão: $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=128$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Seja $xyz$ o número pensado por Emanuel. Os números que os colegas falaram foram:

Amarildo: $5\textcolor{#14BEFF}{2}\textcolor{red}{3}$;
Bento: $\textcolor{#FF00FF}{6}48$;
Carlos: $17\textcolor{red}{3}$;
Denis: $\textcolor{#FF00FF}{6}\textcolor{#14BEFF}{2}9$.

Como em cada um desses apenas um dígito está na posição certa, então existem cinco números possíveis. São eles:

• Começados por $1$: $128$, $149$;
• Começados por $5$: $549$, $578$, $579$.

Mas, dos cinco números possíveis, percebe-se que:

• Amarildo não teria acertado um dígito em $149$;
• Carlos não teria acertado um dígito em $549$;
• Denis não teria acertado um dígito em $578$;
• Bento não teria acertado um dígito em $579$.

Com isso, o número pensado por Emanuel foi o $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$128$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.