.Probleminha: Adivinhe qual é o número!

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Emanuel pensou, em segredo, em um número [tex]S[/tex] de três dígitos distintos. Os colegas Amarildo, Bento, Carlos e Denis tentaram adivinhar, dizendo, respectivamente, [tex]523, 648, 173[/tex] e [tex]629[/tex].
Emanuel disse: “Todos os dígitos do número foram citados por vocês e cada um acertou exatamente um dígito de [tex]S[/tex]. E, por coincidência, o dígito certo estava na posição certa.”
Qual é o número [tex]S[/tex]?

Solução 1

Como Amarildo acertou exatamente um dígito de [tex]S[/tex] e o dígito certo está na posição certa, temos três casos a considerar:

[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O número [tex]S[/tex] é da forma [tex]\boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, 5 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\
&^{\neq 2} &^{\neq 3}
\end{array}}[/tex]. Vamos às análises:

Denis falou o número [tex]629[/tex] e acertou um dígito. Neste caso, o dígito acertado não seria nenhum dos dois primeiros; assim, deve ser o [tex]9[/tex], ficando o número na forma:

[tex]\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, 5 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 9 \, \, }\\
&^{\neq 2} &
\end{array}}[/tex].

Como Bento falou o número [tex]648[/tex] e também acertou um dígito, este deve ser o [tex]4[/tex], e o número seria [tex]\boxed{549}.[/tex]

Mas esta solução não é correta, pois neste caso Carlos não teria acertado um dígito.

[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] O número [tex]S[/tex] é da forma [tex]\boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 2 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\
^{\neq 5}& &^{\neq 3}
\end{array}}[/tex]. Vamos às análises:

Veja que Carlos acertou um dígito e este não foi nenhum dos dois últimos. Assim, deve ser o [tex]1[/tex], ficando o número na forma:

[tex]\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, 1 \, \, }&\underline{ \, \, 2 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }\\
& &^{\neq 3}
\end{array}}[/tex].

Como Bento também acertou um dígito, este deve ser o [tex]8[/tex] e o número seria [tex]\boxed{128}.[/tex]

Esta solução é correta (note que Denis acertou o dígito [tex]2[/tex]).

[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] O número [tex]S[/tex] é da forma [tex]\boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
^{\neq 5}&^{\neq 2} &
\end{array}}[/tex].

Veja que Denis acertou um dígito e este não foi nenhum dos dois últimos. Assim, deve ser o [tex]6[/tex], ficando o número na forma:

[tex]\qquad \qquad \boxed{ \begin{array}{c c c}
\underline{ \, \, 6 \, \, }&\underline{ \, \, \, \, \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
&^{\neq 2} &
\end{array}}[/tex]

Como todos os algarismos de [tex]S[/tex] foram citados pelos amigos, o dígito das dezenas deve ser [tex]5[/tex], [tex]4[/tex], [tex]8[/tex], [tex]1[/tex], [tex]7[/tex] ou [tex]9[/tex].

Em qualquer destes casos, porém, um dos amigos teria acertado dois dígitos de [tex]S[/tex], o que contradiz o enunciado.

Conclusão: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=128$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Seja [tex]xyz[/tex] o número pensado por Emanuel. Os números que os colegas falaram foram:

Como em cada um desses apenas um dígito está na posição certa, então existem cinco números possíveis. São eles: