.Probleminha: A corrida do Triatlo

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Em jogos olímpicos, há a modalidade Triatlo. Nessa modalidade, o atleta deve percorrer, de forma sequencial e sem interrupção, um circuito de 1,5 km de natação, 40 km de ciclismo e 10 km de corrida. (Para mais informações, clique na figura.)

Diogo Sclebin, um importante atleta da equipe brasileira, corre, nada e pedala sua bicicleta mantendo sempre em cada prova uma velocidade constante. Ele corre cinco vezes mais rápido do que ele nada e ele pedala sua bicicleta duas vezes mais rápido do que corre. Em um treino, ele completou sua prova em uma hora e trinta minutos.
Em quantos minutos Diogo Sclebin termina a parte do treino relativa à corrida de bicicleta?

Lembrete amigo: Quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo do percurso. A velocidade desse objeto é definida levando-se em consideração o espaço que ele percorreu em um determinado intervalo de tempo, ou seja, velocidade é a grandeza que mede quão rápido um objeto se desloca.
Se conhecermos a extensão do percurso e o tempo gasto pelo objeto para percorrê-la, podemos dividir o espaço percorrido pelo tempo total de percurso: esse quociente chamamos de velocidade média do objeto. Dessa forma, se

$\Delta S$ for o espaço percorrido por um objeto no intervalo de tempo

$\Delta T$ , a velocidade média do objeto nesse movimento é dada pela expressão:

$\boxed{{\color{#800000}v_m=\dfrac {\Delta S}{\Delta T}}}$
Vejamos um exemplo:
A distância de condução de Fortaleza – CE a Juazeiro do Norte – CE é de aproximadamente

$490 \, km$ . Se o professor Robério dirige de Fortaleza a Juazeiro do Norte a uma velocidade constante de

$70 \, km/h$ , quanto tempo sua viagem durará? E se o professor Eduardo for de Juazeiro do Norte a Fortaleza a uma velocidade constante de

$80 \, km/h$ , quanto tempo gastará?
Acertaram se disseram

$7$ horas no primeiro caso e

$6,125$ horas (aproximadamente

$6$ horas e

$8$ minutos) no segundo caso. Para tanto, é de se esperar que tenham dividido a distância percorrida (quantidade de quilômetros) pela velocidade, pois, sendo a velocidade constante, ela é igual à velocidade média do objeto nesse movimento e temos:

$\boxed{\text{velocidade}=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{tempo gasto}}} \quad \quad \boxed{\text{tempo gasto} = \frac{\text{distância percorrida}}{\text{velocidade}}}$ .

É importante também nos atermos às unidades de medida. Se, por exemplo, a velocidade é em quilômetros/hora, a distância é em quilômetros e o tempo é em horas.

Solução 1

Seja

$r$ a velocidade com a qual Diogo correu, dada em quilômetros por hora. Então, ele gastou um tempo, em horas,

de $\dfrac{1,5}{r}$ na parte da natação;
de $\dfrac{10}{5r}$ na parte da corrida (sua velocidade é $5$ vezes maior agora);
de $\dfrac{40}{10r}$ na parte do ciclismo (sua velocidade pedalando é o dobro da velocidade correndo, isto é, $10r$ ).

Assim, teremos
$\qquad \dfrac{1,5}{r}+\dfrac{10}{5r}+\dfrac{40}{10r}=1,5$ ,
donde
$\qquad \dfrac{1,5}{r}+\dfrac{2}{r}+\dfrac{4}{r}=1,5$ ,
ou seja,
$\qquad \dfrac{1,5+2+4}{r}=\dfrac{7,5}{r}=1,5$ ,
o que nos dá
$\qquad r=\dfrac{7,5}{1,5}$

Logo, $r=5$ , e portanto o tempo que Diogo gastou no treino de bicicleta é de:
$\qquad \qquad\dfrac{40}{10\times 5}=\dfrac{4}{5}=0,8 \,$ horas $=0,8\times 60 \,$ minutos = $48 \,$ minutos $^{(*)}$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Primeiramente vamos dividir o comprimento pela velocidade para encontrar o tempo de cada parte da prova:

Natação: $\dfrac{1,5}{n}$
Corrida: $\dfrac{10}{5n}$
Ciclismo: $\dfrac{40}{10n}$

Assim podemos concluir que:

$\dfrac{1,5}{n}+\dfrac{10}{5n}+\dfrac{40}{10n} = 1,5\Longrightarrow \dfrac{1,5}{n}+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n} = 1,5 \Longrightarrow \dfrac{7,5}{n} = 1,5\Longrightarrow n = 5$

Sabendo que $n = 5$ , podemos descobrir o tempo do circuito de ciclismo:

$\dfrac{4}{n} = \dfrac{4}{5} = 0,8$

Se $1$ hora é igual a $60$ minutos, então $0,1$ hora é igual a $6$ minutos e, portanto, $0,8$ hora corresponde a $8\cdot 6 = 48$ minutos.

Solução elaborada pelo COM 1uik.

(*) Neste problema o tempo de execução do treino para a prova do Triatlo não condiz com o tempo real de uma prova oficial. Nos Jogos do Rio 2016, o britânico Alistair Brownlee conquistou o bicampeonato olímpico vencendo a prova do triatlo masculino com um tempo de 1h45min01.
Particularmente, o seu tempo no ciclismo foi de 1h13min52. Diogo Sclebin terminou na 41ª colocação, com o tempo de 1h52min32.

Dados extraídos de https://www.ativo.com/triathlon/dobradinha-britanica-no-triathlon-da-rio-2016/

Participaram da discussão os Clubes: 1uik; Matemáticos do Érico.