Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
O número natural [tex]\boxed{N=201720172017…2017X}[/tex] possui [tex]2017[/tex] algarismos e é um múltiplo de [tex]9[/tex].
Determine os possíveis valores do algarismo [tex]X.[/tex]
Lembrete
Critério de divisibilidade por [tex]9[/tex]: Para um número natural [tex]x[/tex] ser divisível por [tex]9[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex].
Solução
Se o número [tex]N[/tex] possui [tex]2017[/tex] algarismos, sendo o último algarismo [tex]X[/tex], pode-se afirmar que a sequência de quatro algarismos [tex]2017[/tex] é repetida [tex]2016\div 4=504[/tex] vezes, pois há [tex]2016[/tex] algarismos além do [tex]X[/tex].
Vamos utilizar o critério de divisibilidade por [tex]9[/tex] enunciado no Lembrete; assim, temos que calcular a soma dos algarismos de [tex]N.[/tex]
- Sendo [tex]\boxed{2+0+1+7=10}[/tex], então a soma [tex]S[/tex] dos algarismos do número [tex]N[/tex] é dada por [tex]\boxed{S=10\times 504+X =5040+X} \, .[/tex]
Observe que [tex]5040[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex], pois [tex]5+0+4+0=9[/tex]; como ao adicionar [tex]X[/tex] a [tex]5040[/tex] deve-se ainda ter um múltiplo de [tex]9[/tex], então o próprio algarismo [tex]X[/tex] deverá ser um múltiplo de [tex]9[/tex] e, para que isso ocorra, os possíveis valores para [tex]X[/tex] são [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$} \, [/tex] ou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9$} \, [/tex].
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