.Problemão: Volume complicado

Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)

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(FUVEST) No sólido da imagem a seguir, a base $ABCD$ é um retângulo de lados $AB = 2\ell$ e $AD = \ell$, as faces $ABEF$ e $DCEF$ são trapézios, as faces $ADF$ e $BCE$ são triângulos equiláteros e o segmento $\overline{EF}$ tem comprimento $\ell$.

Encontre, em função de $\ell$, o volume desse sólido.

Solução

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O sólido pode ser dividido em três novos sólidos:

1º) Um prisma triangular de altura $\ell$, cuja secção reta é um triângulo isósceles de lados congruentes com medida $a$ e altura $h$ (distância entre a aresta $EF$ e o plano do retângulo $ABCD$).

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo $FGA$, temos que:

$a^{2}+\left( \dfrac{\ell}{2} \right) ^2 = {\ell}^2 \Rightarrow a = \dfrac{\ell \sqrt{3}}{2}$.

Novamente pelo teorema Pitágoras, agora no triângulo $FHG$:

$\left( \dfrac{\ell}{2} \right) ^2 + h^{2}=a^{2}\Rightarrow h=\dfrac{\ell \sqrt{2}}{2}$.

Assim, pelo lembrete I, o volume desse prisma é:

$V_{prisma}= \dfrac{\ell \cdot \dfrac{\ell \sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \ell = \dfrac{{\ell}^3 \sqrt{2}}{4}$.

2º) E duas pirâmides de base retangular e altura $h$ (distância entre a aresta $EF$ e o plano do retângulo $ABCD$).

Pelo lembrete II, o volume de cada pirâmide é:

$V_{pirâmide}= \dfrac {1}{3} \cdot \ell \cdot \dfrac{\ell}{2} \cdot \dfrac{\ell \sqrt{2}}{2} = \dfrac{{\ell}^3 \sqrt{2}}{12}$.

Portanto, o volume do sólido é:

$V_{sólido}= \dfrac{{\ell}^3 \sqrt{2}}{4} + 2 \cdot \dfrac{{\ell}^3 \sqrt{2}}{12} = \dfrac{5{\ell}^3 \sqrt{2}}{12}$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.