Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(ENEM 2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas.
Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuíram a quantidade de laranja que cada um carregava de acordo com o cansaço deles.
Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção de 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
Solução
Indicaremos por
- [tex]n[/tex] o total de laranjas;
- [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] as quantidades de laranjas que José, Carlos e Paulo levaram na primeira etapa, respectivamente;
- [tex]y_1[/tex], [tex]y_2[/tex] e [tex]y_3[/tex] as quantidades de laranjas que José, Carlos e Paulo levaram na segunda etapa, respectivamente.
(1a. Etapa) Temos [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex] e [tex]x_3[/tex] proporcionais a 6, 5 e 4, ou seja,
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{x_1}{6} = \dfrac{x_2}{5} = \dfrac{x_3}{4}\,.[/tex]
Assim:
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{x_1}{6} = \dfrac{x_2}{5} = \dfrac{x_3}{4} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{15} = \dfrac{n}{15}\\
[/tex]
[tex]\quad \quad \quad \boxed{x_1 = \dfrac{6n}{15}}\;[/tex] ; [tex]\; \boxed{x_2 = \dfrac{5n}{15}}\;[/tex] e [tex]\; \boxed{x_3 = \dfrac{4n}{15}}\,.[/tex]
(2a. Etapa) Temos [tex]y_1[/tex], [tex]y_2[/tex] e [tex]y_3[/tex] proporcionais a 4, 4 e 2, ou seja,
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{y_1}{4} = \dfrac{y_2}{4} = \dfrac{y_3}{2}\,.[/tex]
Assim:
[tex]\quad \quad \quad \dfrac{y_1}{4} = \dfrac{y_2}{4} = \dfrac{y_3}{2} = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{10} = \dfrac{n}{10}\\
[/tex]
[tex]\quad \quad \quad \boxed{y_1 = \dfrac{4n}{10}}\;[/tex] ; [tex] \;\boxed{y_2 = \dfrac{4n}{10}}\;[/tex] e [tex] \;\boxed{y_3 = \dfrac{2n}{10}}\;[/tex].
Agora, perceba que
[tex]\quad \quad \quad x_1 = \dfrac{6n}{15} = \dfrac{2n}{5} = \dfrac{4n}{10} = y_1\;;\\
\quad \quad \quad x_2 = \dfrac{5n}{15} = \dfrac{n}{3} = \dfrac{2n}{6} \lt \dfrac{2n}{5} = \dfrac{4n}{10} = y_2\;;\\
\quad \quad \quad x_3 = \dfrac{4n}{15} \gt \dfrac{3n}{15} = \dfrac{n}{5} = \dfrac{2n}{10} = y_3\;;[/tex]
ou seja, [tex]\boxed{ x_1=y_1}\;[/tex] ; [tex]\; \textcolor{red}{\boxed{x_2\lt y_2}}\;[/tex] e [tex]\; \boxed{x_3\gt y_3}\;.[/tex]
Deste modo, conclui-se do enunciado que foi Carlos que carregou 50 laranjas a mais na segunda etapa do que na primeira e, assim,
[tex]\quad \quad \quad y_2 = x_2 + 50\\
\quad \quad \quad \dfrac{4n}{10} = \dfrac{5n}{15} +50\\
\quad \quad \quad \dfrac{6n}{15} = \dfrac{5n}{15} +50\\
\quad \quad \quad \dfrac{n}{15} = 50\\
\quad \quad \quad n = 750\,.[/tex]
Finalmente, temos [tex]y_1 = y_2 = \dfrac{4 \cdot 750}{10} = 300[/tex] e [tex]y_3 = \dfrac{2 \cdot 750}{10} = 150[/tex].
Pelo exposto, na segunda parte do trajeto, José transportou [tex]300[/tex] laranjas, Carlos transportou [tex]300[/tex] e Paulo, [tex]150[/tex].
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