.Problemão: Valor do lote

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Nos últimos anos, o preço médio em reais por metro quadrado dos lotes de uma determinada região pode ser definido pela equação

$\qquad \qquad \quad \quad \boxed{Preço (t) = – 2t^2+ 4t + 48} \,$ ,
na qual

$t$ representa o tempo, em anos, variando de

$t = – 3$ , no início de

$2011$ , a

$t=2$ , no início de

$2016 \, .$
Desta forma, responda:
a) Durante os anos de

$2011$ a

$2016$ houve uma crise no mercado imobiliário, em um ano em que o preço dos lotes por metro quadrado atingiu o valor máximo, decaindo no ano seguinte. Em que ano ocorreu a referida crise?
b) Uma pessoa comprou um lote de

$400 \, m^2$ no início de

$2012$ , ao preço médio de mercado, e o vendeu, também ao preço médio de mercado, no início de

$2016$ . A pessoa obteve lucro ou prejuízo na compra/venda? De qual valor?

Solução

a) A expressão

$\boxed{Preço (t) = – 2t^2+ 4t + 48} \,$ que nos dá o preço médio por metro quadrado dos lotes define uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
No nosso caso, a função está definida para

$t \in [-3 \, , \, 2]$ e seu gráfico é apresentado na figura abaixo.

Conforme nos mostram os cálculos a seguir, o vértice da parábola é definido por um valor de $t$ que está no intervalo analisado e, como a parábola é côncava para baixo, o vértice é o ponto de máximo da função:
$\qquad t_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times(-2)}=1 \,$ .
Para finalizar o item (a), observe a tabelinha abaixo que mostra a correspondência entre os valores de $t=-3,-2,-1,0,1,2,3 \,$ e os anos de $2011$ a $2015.$

$\begin{array}{c|c|c|c|c} -3 \leqslant t \lt -2&-2 \leqslant t \lt -1&-1 \leqslant t \lt 0&0 \leqslant t \lt 1&1 \leqslant t \lt 2\\ \hline \text{ano de 2011}&\text{ano de 2012}&\text{ano de 2013}&\text{ano de 2014}&\text{ano de 2015} \end{array}$

Assim, a crise aconteceu no início do ano $2015$ e se estendeu, pelo menos, até o final de $2015$ .

Perceba na tabelinha acima que o início de $2012$ corresponde a $t=-2 \, .$ Assim, o valor do metro quadrado no início de ano é dado por:
$\qquad Preço (-2) = – 2(-2)^2+ 4(-2) + 48 = – 8- 8+ 48=32 \,$ .
Logo, o preço do metro quadrado no início de $2012$ era de $R\$\,32,00$ e, portanto, o lote foi comprado a
$\qquad 400\times R\$\,32,00=\boxed{R\$\,12.800,00} \, .$
O início de $2016$ corresponde a $t=2$ e o valor do metro quadrado é dado por:
$\qquad Preço (2) = – 2(2)^2+ 4(2) + 48 = – 8+ 8+ 48=48 \,$ .
Dessa forma, o preço do metro quadrado no início de $2016$ era $R\$48,00$ . Logo, o lote foi vendido a
$\qquad 400\times R\$\,48,00=\boxed{R\$\,19.200,00} \, .$

Com isso, concluímos que a pessoa em questão obteve um lucro de $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\,19.200,00-R\$\,12.800,00=R\$\,6.400,00$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.