Problema
(Indicado a partir do 3ª ano do E. M.)
O valor presente [tex]V_{p}[/tex] de uma parcela de um financiamento a ser paga daqui a [tex]t[/tex] meses é dada pela fórmula a seguir, em que [tex]i[/tex] é o percentual mensal de juros [tex](0\leq i \leq 100)[/tex] e [tex]p[/tex] é o valor da parcela:
Imagine que uma mercadoria, de preço [tex]2p[/tex], seja vendida em duas parcelas iguais a [tex]p[/tex], sem entrada, com o primeiro pagamento em [tex]30[/tex] dias (ou seja, [tex]1[/tex] mês), e o segundo em [tex]60[/tex] dias (ou seja, [tex]2[/tex] meses).
Supondo que a taxa mensal de juros é igual a [tex]1\%[/tex], determine o valor presente da mercadoria e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.
Extraído de Unicamp.
Solução 1
A primeira parcela (paga [tex]1[/tex] mês após a compra) pode ser calculada por:
[tex]\qquad \dfrac {p} {\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^{1}}[/tex].
Já a segunda parcela (paga [tex]2[/tex] meses após a compra) pode ser calculada por:
[tex]\qquad\dfrac {p} {\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^{2}}[/tex].
Portanto, o valor presente da mercadoria na época da compra é
[tex]\qquad V_{p}= \dfrac {p}{1,01} + \dfrac {p}{1,01^{2}} \cong p \cdot 0,99 + p \cdot 0,98 \cong1,97p[/tex].
Assim, o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso para o cliente comprar à vista é, aproximadamente,
[tex]\qquad \dfrac{2p-1,97p}{2p}=0,015=1,5\%[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Neste problema, utilizaremos a fórmula dada para trazer as duas parcelas para o valor presente. Sendo assim, denotaremos por [tex]V_1[/tex] o valor presente da primeira parcela e [tex]V_2[/tex] o valor presente da segunda parcela, respectivamente. Daí, [tex]V_1+V_2[/tex] seria justamente o valor do objeto no momento presente, que calcularíamos da seguinte forma (lembrando que a taxa mensal de juros é [tex]1\%[/tex]):
[tex]\qquad V_1 + V_2 = \dfrac{p}{\left(1+\dfrac{1}{100}\right)}+\dfrac{p}{\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^2} = \dfrac{p}{1,01} + \dfrac{p}{1,01^2} = \dfrac{1,01p + p}{1,01^2} \approx 1,9704p.[/tex]
Logo, o valor presente dessa mercadoria seria [tex]1,9704p[/tex]. Fazendo, então, a variação percentual, teríamos que
[tex]\qquad \dfrac{1,9704p}{2p} = 0,9852 = 98,52\%.[/tex]
Assim sendo, fazemos [tex]100\% – 98,52\% =1,48\%[/tex]. Portanto, o desconto mínimo para que seja vantajoso para o cliente seria qualquer desconto [tex]i[/tex] tal que [tex]i>1,48\%[/tex].
Para uma compreensão plena desse problema, seria sugerível estudá-lo utilizando números, como por exemplo, o valor total sendo [tex]R\$\;2\;000,00[/tex] e as parcelas valendo [tex]R\$\;1\;000,00[/tex] cada.
Solução elaborada pelo COM Phidias.