Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Marcos possui uma calculadora com uma tecla especial. Além de teclas para as funções convencionais como exponencial (Exp) e raiz quadrada ([tex]\sqrt{\ \ }[/tex]), esta calculadora possui uma tecla especial, [tex]\Delta[/tex], que para cada número natural informa um número inteiro. A tecla [tex]\Delta[/tex] possui as seguintes propriedades:
[tex]\qquad (1) \ \Delta(n+11)=\Delta(n)[/tex]
[tex]\qquad (2) \ \Delta(n\cdot m)=\Delta(n)\Delta (m)[/tex].
Sabendo-se que [tex]\Delta(2)=-1[/tex], calcule o valor de [tex]\Delta(1)[/tex], [tex]\Delta(7)[/tex] e [tex]\Delta(15)[/tex].
Solução 1
Do fato de que [tex]2=2\cdot 1[/tex] e da propriedade [tex](2)[/tex], segue que
[tex]\qquad \Delta (2)=\Delta(2)\Delta (1) \ \ \therefore \ \ -1=-\Delta(1) \ \ \therefore \ \ \Delta(1)=1.[/tex]
Existem muitas formas de encontrar os valores da função [tex]\Delta[/tex]. Por exemplo, observe que [tex]7\cdot 8=56=5\cdot 11+1[/tex]. Assim, da propriedade [tex](1)[/tex] teremos
[tex]\qquad \Delta(56)=\Delta ((4 \cdot 11)+11+1)=\Delta (4 \cdot 11+1)=\cdots=\Delta (1)=1,[/tex]
ao passo que, da propriedade [tex](2)[/tex], obtemos
[tex]\qquad \Delta(56)=\Delta(7\cdot 8)=\Delta(7)\Delta(8)=\Delta(7)\Delta(2\cdot 2 \cdot 2)=(-1)(-1)(-1)\Delta(7)=-\Delta(7).[/tex]
Portanto, [tex]1=-\Delta(7)[/tex], ou seja, [tex]\Delta(7)=-1[/tex].
Novamente pelas propriedades:
[tex]\qquad \Delta(15)=\Delta(4+11)=\Delta(4)=\Delta(2)\Delta(2)=(-1)(-1)=1.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Pela segunda propriedade temos que:
[tex]\qquad \Delta(2)=\Delta(2 \cdot 1)=\Delta(2) \cdot \Delta(1) \ \ \therefore \ \ \Delta(1)=\dfrac{\Delta(2)}{\Delta(2)}=\dfrac{-1}{-1}=1. [/tex]
Pela primeira e pela segunda propriedade:
[tex]\qquad \Delta(15)=\Delta(4+11)=\Delta(4)=\Delta(2\cdot 2)=\Delta(2)\cdot \Delta(2)=(-1)^2=1.[/tex]
Por fim, aplicando as propriedades múltiplas vezes, encontramos:
[tex]\qquad \Delta(7)=\frac{\Delta(2)\Delta(7)}{\Delta(2)}=-\Delta(14)=-\Delta(11+14)=-\Delta(25)=-(\Delta(5))^2=-(\Delta(5+11))^2=-(\Delta(16))^2.[/tex]
Observe que [tex]\Delta(16)=\Delta(2^4)=(\Delta(2))^4=(-1)^4=1[/tex]. Portanto,
[tex]\qquad \Delta(7)=-1^2=-1.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Koreil Guys, com contribuições dos moderadores do Blog.