.Desafio: Uma soma fascinante!

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Calcule o valor da soma
$\qquad 2 \ \mathrm{sen}\, 2^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \,4^\circ+ 6 \ \mathrm{sen}\, 6^\circ+\cdots +178 \ \mathrm{sen} \,178^\circ$.
Se necessário, use $\mathrm{cotg} \ 1^\circ=57,29$.

Extraído de XXVI OPM – Nível Gama.

Solução

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Vamos denotar a soma a ser calculada por $S$.
Assim, multiplicando $S$ por $\mathrm{sen} \, 1^\circ$, temos
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=2 \ \mathrm{sen} \, 2^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \, 4^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+ 6 \ \mathrm{sen} \, 6^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+\cdots \\ \qquad \qquad \cdots+178 \ \mathrm{sen} \, 178^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ.$

Utilizando o fato de que $2 \ \mathrm{sen} \, a \ \cdot \mathrm{sen} \, b=\cos (a-b)-\cos(a+b)$, obtemos
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-\cos3^\circ+2(\cos3^\circ-\cos5^\circ)+3(\cos5^\circ-\cos7^\circ)+\dots\\ \qquad \qquad \cdots+89(\cos177^\circ-\cos179^\circ)$
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-\cos3^\circ+2 \cos3^\circ-2 \cos5^\circ+3 \cos5^\circ-3 \cos7^\circ+\dots\\ \qquad \qquad \cdots+89 \cos177^\circ-89 \cos179^\circ$
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ+\cos3^\circ+\cos5^\circ+\cos7^\circ+\dots\\ \qquad \qquad \cdots+\cos177^\circ-89\cos179^\circ.$

Com a identidade trigonométrica $~\cos(180^\circ-a)=-\cos a~$ podemos obter

• $\cos 91^\circ=-\cos 89^\circ$
• $\cos 93^\circ=-\cos 87^\circ$

$\qquad ~~~~~~\vdots$

• $\cos 177^\circ=-\cos 3^\circ$
• $\cos 179^\circ=-\cos 1^\circ$

e, então
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ+\cos3^\circ+\cos5^\circ+\dots+\cos89^\circ-\cos89^\circ-\dots\\ \qquad \qquad \cdots-\cos5^\circ-\cos 3^\circ-89\cos179^\circ.$

Logo, cancelando os opostos, segue que:
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ\cancel{+\cos3^\circ}\cancel{+\cos5^\circ}+\dots\cancel{+\cos89^\circ}\cancel{-\cos89^\circ}-\dots\\ \qquad \qquad \cdots\cancel{-\cos5^\circ}\cancel{-\cos 3^\circ}-89\cos179^\circ$
$\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-89\cos179^\circ=\cos1^\circ+89\cos1^\circ\\ \quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=90\cos1^\circ.$

Portanto,
$\quad S=90~\dfrac{\cos1^\circ}{\mathrm{sen} \, 1^\circ}=90 \ \mathrm{cotg} \ 1^\circ.$

Usando o valor $\boxed{ \mathrm{cotg} \ 1^\circ=57,29}$, obtemos
$\quad S=90\times 57,29=5\,156,1$
e, assim,
$\quad 2 \ \mathrm{sen}\, 2^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \,4^\circ+ 6 \ \mathrm{sen}\, 6^\circ+\cdots +178 \ \mathrm{sen} \,178^\circ=5\,156,1\,.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.