.Problemão: Uma sequência interessante

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Considere a sequência de números naturais com fórmula para o termo geral dada por $a_n=2^ n+(-1)^n$. Alguns termos desta sequência são:
$\qquad{1,5,7,17,31,65,127,257, \dots }$
Uma curiosidade interessante é que, com exceção do $1$ e do $65$, todos estes termos iniciais são números primos. Entretanto, esta sequência apresenta também muitos números compostos. Prove que existem infinitos termos múltiplos de $5$.

Solução

Vamos começar calculando mais alguns termos da sequência:
$\qquad{1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, \dots}$
Aparentemente, $4$ termos após a ocorrência de um múltiplo de $5$ ocorrerá outro! Pelo menos, nós podemos observar isso nos termos $a_2, a_6$ e $a_{10}$. De fato, vamos provar que, dado um termo $a_n$ múltiplo de $5$, teremos $a_{n+4}$ também múltiplo de $5$. Assim, sendo $a_n=5q$, temos

$\qquad \begin{align}a_{n+4}&=2^ {n+4}+(-1)^{n+4}\\ &=16 \cdot 2^n+(-1)^n\cdot (-1)^4\\ &=16 \cdot 2^n+(-1)^n\cdot 1\\ &=16 \cdot 2^n+(-1)^n\\ &=15 \cdot 2^n +2^n+(-1)^n\\ &=15 \cdot 2^n +a_n\\ &=15 \cdot 2^n +5q\\ &=5\cdot(3\cdot 2^n+q). \end{align}$

Isso mostra que todos os termos de posições $n=2+4k$ serão múltiplos de $5$. Assim, existem infinitos múltiplos de $5$ na sequência.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.