Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Considere a sequência de números naturais com fórmula para o termo geral dada por [tex]a_n=2^ n+(-1)^n[/tex]. Alguns termos desta sequência são:
[tex]\qquad{1,5,7,17,31,65,127,257, \dots }[/tex]
Uma curiosidade interessante é que, com exceção do [tex]1[/tex] e do [tex]65[/tex], todos estes termos iniciais são números primos. Entretanto, esta sequência apresenta também muitos números compostos. Prove que existem infinitos termos múltiplos de [tex]5[/tex].
Solução
Vamos começar calculando mais alguns termos da sequência:
[tex]\qquad{1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, \dots}[/tex]
Aparentemente, [tex]4[/tex] termos após a ocorrência de um múltiplo de [tex]5[/tex] ocorrerá outro! Pelo menos, nós podemos observar isso nos termos [tex]a_2, a_6[/tex] e [tex]a_{10}[/tex]. De fato, vamos provar que, dado um termo [tex]a_n[/tex] múltiplo de [tex]5[/tex], teremos [tex]a_{n+4}[/tex] também múltiplo de [tex]5[/tex]. Assim, sendo [tex]a_n=5q[/tex], temos
[tex]\qquad \begin{align}a_{n+4}&=2^ {n+4}+(-1)^{n+4}\\
&=16 \cdot 2^n+(-1)^n\cdot (-1)^4\\
&=16 \cdot 2^n+(-1)^n\cdot 1\\
&=16 \cdot 2^n+(-1)^n\\
&=15 \cdot 2^n +2^n+(-1)^n\\
&=15 \cdot 2^n +a_n\\
&=15 \cdot 2^n +5q\\
&=5\cdot(3\cdot 2^n+q).
\end{align}[/tex]
Isso mostra que todos os termos de posições [tex]n=2+4k[/tex] serão múltiplos de [tex]5[/tex]. Assim, existem infinitos múltiplos de [tex]5[/tex] na sequência.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.