Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Adaptado de material do POTI) Para todo número inteiro [tex]x[/tex], a função [tex]f[/tex] satisfaz [tex]f(x+1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}[/tex].
Se [tex]f(1)= -3[/tex], calcule [tex]f(2020).[/tex]
Solução
Observe que:
- [tex]x=1 \Rightarrow f(2)= f(1+1) = \dfrac{1+\textcolor{red}{f(1)}}{1-\textcolor{red}{f(1)}}= \dfrac{1-3}{1+3} = \dfrac{-2}{4}= \dfrac{-1}{2}[/tex] ;
- [tex]x= 2 \Rightarrow f(3)= f(2+1)= \dfrac{1+\textcolor{#42B6F6}{f(2)}}{1-\textcolor{#42B6F6}{f(2)}}= \dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1+ \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3}[/tex] ;
- [tex]x= 3 \Rightarrow f(4)= f(3+1)= \dfrac{1+\textcolor{#FF00FF}{f(3)}}{1-\textcolor{#FF00FF}{f(3)}}= \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1 – \dfrac{1}{3}} =2[/tex] ;
- [tex]x=4 \Rightarrow f(5)= f(4+1) = \dfrac{1+\textcolor{#52D017}{f(4)}}{1-\textcolor{#52D017}{f(4)}}= \dfrac{1+2}{1-2} = -3=\textcolor{red}{f(1)}[/tex];
- [tex]x=5 \Rightarrow f(6)= f(5+1)=\dfrac{1+f(5)}{1-f(5)}= \dfrac{1+\textcolor{red}{f(1)}}{1-\textcolor{red}{f(1)}}=\textcolor{#42B6F6}{f(2)}[/tex] ;
- [tex]x= 6 \Rightarrow f(7)= f(6+1)= \dfrac{1+f(6)}{1-f(6)}=\dfrac{1+\textcolor{#42B6F6}{f(2)}}{1-\textcolor{#42B6F6}{f(2)}}= \textcolor{#FF00FF}{f(3)}[/tex];
- [tex]x= 7 \Rightarrow f(8)= f(7+1)= \dfrac{1+f(7)}{1-f(7)}=\dfrac{1+\textcolor{#FF00FF}{f(3)}}{1-\textcolor{#FF00FF}{f(3)}}=\textcolor{#52D017}{f(4)}[/tex] ;
- [tex]x= 8 \Rightarrow f(9)= f(8+1)= \dfrac{1+f(8)}{1-f(8)}=\dfrac{1+\textcolor{#52D017}{f(4)}}{1-\textcolor{#52D017}{f(4)}}= \cdots\;[/tex] .
Note que, para [tex]x[/tex] inteiro, as imagens se repetem em um padrão de [tex]4[/tex] em [tex]4[/tex]. Particularmente, todos os múltiplos de [tex]4[/tex] terão imagem [tex]2[/tex].
Dessa forma, como [tex]2020[/tex] é múltiplo de [tex]4[/tex], concluímos que [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(2020)= f(4)=2$}\,.[/tex]
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