Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Resolva a equação [tex](x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x.[/tex]
AJUDA
As raízes da equação do segundo grau [tex]\, \, ax^2+bx+c = 0\, \, [/tex] são dadas por
[tex]\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\,}}{2a}[/tex] .
Solução
Adicionando [tex]x^2-3x+1[/tex] a ambos os membros da equação a ser resolvida, segue que:
[tex]\qquad (x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)}=x\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)}[/tex]
[tex]\qquad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1=x+ x^2-3x+1 [/tex]
[tex]\qquad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1= x^2-2x+1 [/tex]
[tex]\qquad [(x^2-3x+1)-1]^2=( x-1)^2 [/tex]
[tex]\qquad [x^2-3x]^2-( x-1)^2=0 [/tex]
[tex]\qquad (x^2-3x+x-1)(x^2-3x-x+1)=0\,.\\
~~[/tex]
Assim, [tex]x^2-3x+x-1=0\,[/tex] ou [tex]\,x^2-3x-x+1=0[/tex].
Mas observe que:
- se [tex]x^2-3x+x-1=0[/tex], então [tex]x=1\pm \sqrt{2\,}[/tex];
- se [tex]x^2-3x-x+1=0[/tex], temos que [tex]x=2\pm \sqrt{3\,}[/tex];
portanto, temos quatro soluções para a equação dada:
[tex]\quad \boxed{x=1+\sqrt{2}}~[/tex]; [tex]~ \boxed{x=1-\sqrt{2}}~[/tex]; [tex]~ \boxed{x=2+\sqrt{3}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{x=2-\sqrt{3}}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
Participou da discussão o Clube Math Club.