Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Sejam [tex]f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] funções tais que [tex]g(x)=1-x\, [/tex] e [tex]\, f(x)+2f(2-x)=(x-1)^3, \forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Determine, então, [tex]f(g(x))[/tex].
Solução
Das hipóteses do problema temos que , [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex],
[tex]\qquad f(x)+2f(2-x)=(x-1)^3.\qquad \qquad [/tex] (I)
Assim, fazendo a substituição [tex]2-x=a[/tex] teremos, então,
[tex]\qquad f(2-a)+2f(a)=(1-a)^3[/tex].
Retornando à variável [tex]x[/tex], ficaremos com
[tex]\qquad f(2-x)+2f(x)=(1-x)^3=(-(x-1))^3[/tex],
ou ainda,
[tex]\qquad -f(2-x)-2f(x)=(x-1)^3.\qquad \qquad [/tex] (II)
De (I) e (II) resulta que
[tex]\qquad f(x)+2f(2-x)=-f(2-x)-2f(x)[/tex],
donde
[tex]\qquad f(2-x)=-f(x).\qquad \qquad [/tex] (III)
Substituindo III em I segue que [tex]f(x)=-(x-1)^3[/tex].
Logo,
[tex]\qquad f(g(x))=-(g(x)-1)^3=-(1-x-1)^3=-(-x)^3=x^3[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(g(x))=x^3$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.