Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Resolva a equação [tex]\quad \boxed{3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{x}}}}} \, [/tex].
Solução
Veja que
[tex]\qquad \qquad \boxed{1 – \dfrac{1}{x}}=\boxed{\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}}[/tex],
assim, segue que:
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\boxed{1 – \dfrac{1}{x}}}}}=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\boxed{\dfrac{x-1}{x}}}}}\quad [/tex].
Como
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x}}}=\boxed{\dfrac{x}{x-1}}[/tex],
vem que:
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \boxed{\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x}}}}}=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 +\boxed{\dfrac{x}{{x-1}}}}}\quad [/tex].
Observe agora que
[tex]\qquad \qquad \boxed{1 + \dfrac{x}{x-1}}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{x}{x-1}=\boxed{\dfrac{2x-1}{x-1}}[/tex] ,
donde
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{\boxed{1 +\dfrac{x}{{x-1}}}}}=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{\boxed{\dfrac{2x-1}{{x-1}}}}}\quad [/tex].
Prosseguindo com "reduções ao mesmo denominador" e "inversão de frações", obtemos:
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{\dfrac{2x-1}{{x-1}}}}[/tex]
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{x-1}{2x-1}}[/tex]
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{1}{\dfrac{x}{2x-1}}[/tex]
[tex]\qquad \qquad 3=\dfrac{2x-1}{x}[/tex]
[tex]\qquad \qquad 3x\ =\ 2x-1[/tex]
[tex]\qquad \qquad x =-1.[/tex]
Portanto, a equação tem uma única raiz: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x =-1$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.