Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(A. TITU; Z. ZUMING, “A Path to Combinatorics for Undergraduates”, Boston, 2004 – Adaptado) Determine o número de pares ordenados de inteiros positivos [tex](a,b)[/tex] tais que o mínimo múltiplo comum de [tex] a [/tex] e [tex] b [/tex] é a igual a [tex]2^{3} \cdot 5^{7}[/tex], ou seja, [tex]mmc(a,b)=2^{3} \cdot 5^{7}\, .[/tex]
Solução
Notação: Utilizaremos a notação [tex]max \{r_{1}, r_{2}\} [/tex] para representar o máximo entre dois números reais [tex]r_{1}, r_{2} [/tex]. Assim, por exemplo, [tex] max \{\sqrt{2}\, ,\, 1 \}=\sqrt{2}\, [/tex] e [tex]\, max\{-2,-2\}=-2[/tex].
Vamos à solução.
Como [tex]mmc(a,b)=2^{3} \cdot 5^{7}[/tex], então [tex] a[/tex] e [tex] b[/tex] são fatores de [tex] 2^{3} \cdot 5^{7}[/tex] e, assim, possuem no máximo os fatores [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex] em suas respectivas decomposições primas. Podemos então escrever que [tex]\boxed{a=2^{x} \cdot 5^{y}}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{ b= 2^{s} \cdot 5^{t}}[/tex], com [tex]x,\, y,\, s,\, t [/tex] números inteiros não negativos.
Sabemos que para o cálculo do [tex]mmc[/tex] de dois ou mais números utilizando a decomposição de cada um em fatores primos, devemos fazer o produto de todos os fatores, comuns e não comuns, que aparecem nas decomposições, cada um deles elevado ao maior expoente com que aparece; assim, como [tex]\boxed{mmc(a,b)=2^{3} \cdot 5^{7}}[/tex], [tex]\, \boxed{a=2^{x} \cdot 5^{y}}\, [/tex] e [tex]\, \boxed{ b= 2^{s} \cdot 5^{t}}[/tex], segue que:
- [tex]max\{x,s\}=3 \,\,[/tex] e [tex]\,\, max\{y,t\}=7\, . [/tex]
Por outro lado, o Teorema Fundamental da Aritmética garante que cada conjunto de valores [tex]\{x,y,s,t\}[/tex] define um e apenas um par [tex]a=2^x\cdot 5^y[/tex], [tex]b=2^s\cdot 5^t[/tex], já que a decomposição de um número em fatores primos é única. Isto significa que podemos contar os conjuntos [tex]\{x,y,s,t\}[/tex] para obter a quantidade de pares [tex](a,b)[/tex] que respeitam o enunciado.
Como [tex]max \{x,s\}=3[/tex], temos as seguintes possibilidades para os pares ordenados [tex] (x,s):[/tex]
- [tex] (0,3), (1,3) , (2,3), (3,3), (3,2), (3,1), (3,0) [/tex],
ou seja, [tex]7[/tex] escolhas. De forma análoga, temos [tex] 15 [/tex] escolhas para os pares ordenados [tex](y,t)[/tex].
Dessa forma, segue do Princípio Multiplicativo que há [tex] 7 \cdot 15 =\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$105$}\,[/tex] pares de inteiros positivos [tex]a,b[/tex] tais que [tex] mmc(a,b)=2^{3} \cdot 5^{7}[/tex].
Um exemplo de solução, fazendo [tex](x,s)=(3,0)[/tex] e [tex](y,t)=(1,7)[/tex]:
[tex]\qquad a=2^x\cdot 5^y=2^3\cdot 5^0=8[/tex]
[tex]\qquad b=2^s\cdot 5^t=2^1\cdot 5^7=156250[/tex].
Observe que [tex]mmc(8,156250)=625000=2^3\cdot 5^7[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.