Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(OBM) Sejam [tex]a, b, c[/tex] e [tex]d[/tex] números reais distintos tais que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3cx-8d=0[/tex] e [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3ax-8b=0[/tex]. Calcule a soma [tex]a+b+c+d[/tex].
AJUDA
Você se lembra das Relações de Girard?
Caso não, visite esta Sala do nosso Blog, pois essas relações ajudarão a resolver este problemão.
Solução
Utilizando as Relações de Girard nas equações [tex]\textcolor{red}{x^2-3ax-8b=0}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{blue}{x^2-3cx-8d=0}[/tex], é fácil perceber que [tex]\textcolor{blue}{a+b=3c}\,[/tex] e que [tex]\,\textcolor{red}{c+d=3a}\,.[/tex] Agora, somando e subtraindo membro a membro essas duas igualdades obtidas, temos que:
|
[tex](a+b)+(c+d)=3c+3a\\ b+d=3c+3a-a-c\\ b+d=2c+2a\\ \boxed{b+d=2(a+c)}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(I)}[/tex] |
[tex]\qquad (a+b)-(c+d)=3c-3a\\ \qquad b-d=3c-3a-a+c\\ \qquad b-d=4c-4a\\ \qquad \boxed{b-d=4(c-a)}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(II)} [/tex] |
Por outro lado, como [tex]a[/tex] é raiz de [tex]x^2-3cx-8d=0[/tex] e [tex]c[/tex] é raiz da equação [tex]x^2-3ax-8b=0[/tex], obtemos respectivamente:
[tex]\qquad a^2-3ca-8d=0 \qquad \textcolor{#800000}{(III)}[/tex]
e
[tex]\qquad c^2-3ca-8b=0\,. \qquad \textcolor{#800000}{(IV)}[/tex]
Subtraindo as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(III)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(IV)}[/tex] e utilizando a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(II)}[/tex], segue que:
[tex]\quad a^2-c^2-8d+8b=0 \\
\quad a^2-c^2-8(d-b)=0 \\
\quad a^2-c^2=8(d-b) \\
\quad a^2-c^2\stackrel{\textcolor{#800000}{(II)}}{=}8\cdot 4(a-c) \\
\quad (a-c)(a+c)=32(a-c).\qquad \textcolor{#800000}{(V)}[/tex]
Mas [tex]a\,[/tex] e [tex]\, c[/tex] são números distintos; logo, [tex]a-c \ne 0[/tex] e podemos dividir a equação [tex]\textcolor{#800000}{(V)}[/tex] por [tex]a-c[/tex], concluindo que [tex]a+c=32[/tex].
Como [tex]a+c=32[/tex] e, por [tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex], [tex]b+d=2(a+c)[/tex], temos que [tex]b+d=2\cdot 32=64[/tex].
Portanto, [tex](a+c)+(b+d)=32+64[/tex], ou seja, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a+b+c+d=96$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.